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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung um x=0 für folgende Funktionen. Was ist jeweils der Konvergenzradius?
f(x)= [mm] \bruch{x^{3}+1}{3+2x^{3}}
[/mm]
[mm] g(x)=3^{x^{5}-1} [/mm] |
Hallo,
laut Aufgabenstellung soll ich f(x) und g(x) ja in eine Summenform bringen ( [mm] \summe_{i=0}^{\infty}....). [/mm] Hab da heute schon über ne Stunde rumprobiert, bin aber auf keinen rechten Ansatz gekommen. Ich hab Tayler-Reihe versucht, ging aber nicht. Dann hab ichs versucht in eine geometrische Reihe zu überführen, ist auch fehlgeschlagen. Und soweit ich das sehe, handelt es sich auch um keine binomische Reige (außer g(x) vielleicht). Jetzt sind mir die Ideen ausgegangen was ich noch versuchen könnte, meine Bücher helfen mir auch nicht mehr weiter. Wenn mit jemand nen Tipp geben könnte wäre ich sehr dankbar. Das mit dem Konvergenzradius bekomm ich dann wahrscheinlich sogar selbst raus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Beachte:
$f(x) = [mm] \frac{1}{3} (x^3+1) \cdot \frac{1}{1 - \left( - \frac{2}{3}x^3 \right)}$
[/mm]
und
$g(x) = [mm] \frac{1}{3} e^{x^5 \cdot \ln(3)}$.
[/mm]
Und jetzt auf bekannte Potenzreihen zurückführen...
Liebe Grüße
Julius
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Hallo,
ich hab jetzt doch noch ne Frage zum Konvergenzradius. Dank der Hilfe des Matheforums (danke an dieser Stelle nochmals) hab ich jetzt die Summenschreibweise raus:
[mm] \bruch{1}{3}(x^{3}+1)*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-2)^{n}}{3^{n}}*x^{3n}.
[/mm]
Jetzt soll ich noch den Konvergenzradius berechnen, was mich aber hierbeis sehr stöhrt ist dieses [mm] x^{3n}, [/mm] ich kann das nämlich nur mit [mm] x^{n} [/mm] rechnen. Ich hab jetzt mal so getan als ob das 3 fehlen würde und bin mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\vmat{ (-2)^{n} \\ 3^{n}}} [/mm] auf einen Konvergenzradius von 1.5 gekommen. Ist das richtig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nein, das ist falsch. Die Reihe konvergiert ja genau dann, wenn
[mm] $\left| \frac{-2}{3}x^3 \right|< [/mm] 1$,
also wenn
$|x| < [mm] \sqrt[3]{1.5}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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