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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Fr 03.07.2015 | | Autor: | smoot |
| Aufgabe | [mm] \bruch{1}{x^{2} + 2x + 2}
[/mm]
Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 0 |
Guten Tag,
[mm] \bruch{1}{x^{2} + 2x + 2}
[/mm]
Nullstellen bestimmen/ Faktor Zerlegung:
[mm] x^{2} [/mm] + 2x + 2 = 0
x1 = -1 + j und x2 = -1 - j
[mm] \bruch{1}{(x + 1 + j)(x + 1 - j)}
[/mm]
Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{A}{(x + 1 + j)}+\bruch{B}{(x + 1 - j)}
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
A + B = 0 und A + B - jA + jB = 1
=> A = [mm] -\bruch{1}{2j} [/mm] und B = [mm] \bruch{1}{2j}
[/mm]
=> [mm] \bruch{\bruch{1}{2j}}{(x+1-j)} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{1}{2j}}{(x + 1 +j)}
[/mm]
mit 1 - j = [mm] z_1 [/mm] und 1 + j = [mm] z_2 [/mm]
=> [mm] \bruch{1}{2j} \summe_{k = 0}^{\infty} z_1^{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2j} \summe_{k = 0}^{\infty} z_2^{k}
[/mm]
=> [mm] \bruch{1}{2j} (\summe_{k = 0}^{\infty} z_1^{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{\infty} z_2^{k})
[/mm]
Frage:
1.)
Soweit so gut, jedoch ist in der Aufgabe nach einer reellen Darstellung gefragt. Jedoch komme ich, wenn ich den Nenner und Zähler reell mache, wieder auf den Ausgangsbruch der Aufgabenstellung zurück..
2.)
Weiter soll mit Hilfe des Resultats eine Taylorreihe für arctan (x) entwickelt werden.
Also erstmal :
f(x) = arctan (x)
f'(x) = [mm] \bruch{1}{1 + x^{2}}
[/mm]
Nun sehe ich jedoch keine Ähnlichkeit bzw. keine geeignete Substitution, um meine Reihe in diese Form zubringen.
Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Fr 03.07.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
x²+2x+2= x²+2x+1+1=(x+1)²+1.
Die Substitution (x+1)=z macht daraus z²+1.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Fr 03.07.2015 | | Autor: | smoot |
Wäre die Reihendarstellung demnach dann:
[mm] \bruch{1}{1+(x+1)^{2}} [/mm] mit q = (x+1) ;|q|< 1
=> [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (q^{2})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (x+1)^{2k}
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Fr 03.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wäre die Reihendarstellung demnach dann:
>
> [mm]\bruch{1}{1+(x+1)^{2}}[/mm] mit q = (x+1) ;|q|< 1
>
> => [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (q^{2})^{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (x+1)^{2k}[/mm]
>
Wenn nach der Entwicklung um [mm] x_0=-1 [/mm] gefragt wäre, so stimmt das fast.
Die geometrische Reihe lautet
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k=\bruch{1}{1-q} [/mm] für |q|<1
> ?
Damit ist [mm] \bruch{1}{1+(x+1)^{2}}=\bruch{1}{1-(-(x+1)^{2})}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k(x+1)^{2k} [/mm] für |x+1|<1
Allerdings solltest Du die Entwicklung um [mm] x_0=0 [/mm] fabrizieren !
FRED
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