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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 So 12.03.2006 | | Autor: | Tequila |
Hallo
hab mal ne Frage zu PR
bekanntlich ist cos(x) = [mm] \summe_{n=}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
wie sieht das mit [mm] cos(\wurzel{x}) [/mm] aus? Einfach Wurzel ins x reinziehen?
wäre dann ja
[mm] \summe_{n=}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}(\wurzel{x})^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
oder ist das falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 So 12.03.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> bekanntlich ist cos(x) = [mm]\summe_{n=}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
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> wie sieht das mit [mm]cos(\wurzel{x})[/mm] aus? Einfach Wurzel ins x
> reinziehen?
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> wäre dann ja
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> [mm]\summe_{n=}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}(\wurzel{x})^{2n}}{(2n)!}[/mm]
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> oder ist das falsch?
Ich glaube nicht, dass das so geht. Da müsste man wohl eine separate Potenzreihenentwicklung machen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 So 12.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hab mal ne Frage zu PR
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> bekanntlich ist cos(x) = [mm]\summe_{n=}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
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> wie sieht das mit [mm]cos(\wurzel{x})[/mm] aus? Einfach Wurzel ins x
> reinziehen?
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> wäre dann ja
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> [mm]\summe_{n=}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}(\wurzel{x})^{2n}}{(2n)!}[/mm]
Das kann man noch vereinfachen zu $g(z) := [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^n}{(2n)!}$. [/mm] Ist $x [mm] \ge [/mm] 0$, so stimmt diese Reihe mit [mm] $\cos\sqrt{x}$ [/mm] ueberein. Und das die Potenzreihe auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] konvergiert sieht man auch sofort.
Bleibt also die Frage, ob die Gleichheit $g(z) = [mm] \cos\sqrt{z}$ [/mm] fuer alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt. Das stimmt jedoch, und mit ein bisschen Funktionentheorie kann man es sehr einfach zeigen:
Wenn man ein $z [mm] \in \IC$, [/mm] $z [mm] \neq [/mm] 0$ fest waehlt, gibt es eine einfach zusammenhaengende Umgebung $U$ von $z$, welche $0$ nicht enthaelt. Auf dieser ist die Funktionen [mm] $\sqrt{\bullet}$, [/mm] und da [mm] $\cos \bullet$ [/mm] ganz ist ist somit [mm] $f_U [/mm] : U [mm] \to \IC$, [/mm] $x [mm] \mapsto \cos\sqrt{x}$ [/mm] auf $U$ holomorph.
Wenn man jetzt $U$ so waehlt, dass $U$ auch ein Stueck der positiven $x$-Achse umfasst, so sieht man, dass $g$ und [mm] $f_U$ [/mm] auf $U [mm] \cap \IR_{>0}$ [/mm] uebereinstimmen. Nach dem Identitaetssatz stimmen $g$ und [mm] $f_U$ [/mm] also auf ganz $U$ ueberein! Also ist auch insbesondere $g(z) = [mm] \cos\sqrt{z}$.
[/mm]
Also ist $z [mm] \mapsto \cos\sqrt{z}$ [/mm] eine ganze Funktion mit Potenzreihenentwicklung [mm] $\cos\sqrt{z} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^n}{(2 n)!}$.
[/mm]
LG Felix
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