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Hallo!
Nachdem ich sonst meist nur mitlese und das eine oder andere Mal eine Frage beantworte, steht ich nun selbst vor einem Problem.
Es soll die Potenzreihe von [mm]f(x)[/mm] zum Entwicklungspunkt [mm]x_0=0[/mm] berechnet werden (Glieder bis zur 3. Ordnung)
[mm]f(x)=\frac{1}{1-sin(\frac{x}{2})}}[/mm]
Ich kenne bisher verschiedene Möglichkeiten:
- Taylor, sehr umständlich im diesen Fall, wegen komplizierten Ableitungen
- Cauchy Produkt, wenn man die Entwicklung von [mm]sin(x)[/mm] als bekannt vorrausetzt
- geom. Reihe, sieht ja sehr stark nach der Summenformel aus
Wie gehe ich am einfachsten vor. Bei die Anwendung der Cauchy Produktes stört mich die [mm] \frac{x}{2} [/mm] als Argument. Vielen Dank für einen Lösungshinweis.
Ach ja es ist eine Klausuraufgabe, das heißt es sollte eine relativ einfache und schnelle Lösung geben (Klausuren sind bei uns meist einfacher als die Übungen).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Di 23.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo foxxylein!
Mit der geometrischen Reihe hast Du Dir die Antwort doch bereits selbst gegeben:
[mm] $\bruch{a}{1-z} [/mm] \ = \ [mm] a*\left(1+z+z^2+z^3+... \ \right) [/mm] \ = \ [mm] a*\summe_{n=0}^{\infty}z^n$
[/mm]
Und nun setze doch einfach mal ein: $a \ := \ 1$ sowie $z \ := \ [mm] \sin\left(\bruch{x}{2}\right)$ [/mm] .
Das sieht dann doch ganz gut aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank für die Antwort!
Kann man das auch in einer explizieten Form angeben?
[mm]f(x)=a_0*x^0+a_1*x^1+a_2*x^2+a_3*x^3+...[/mm]
Dafür müsste man doch das Cuachy-Produkt mit rekursiver Koeffizienten-Berechnung anwenden oder? Aber wie genau?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo foxxylein!
Naja, du sollst ja nur die Glieder bis zur dritten (!) Ordnung berechnen.
Dann schreib doch mal
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{x}{2} - \frac{1}{3!} \left( \frac{x}{2} \right)^3 + \frac{1}{5!} \left( \frac{x}{2} \right)^5 - \ldots \right]^n [/mm] $
und schau mal, was bis zur 3. Ordnung übrig bleibt.
Viel ist das nicht... 
Viele Grüße
Stefan
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