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| Aufgabe | Berechne den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:
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Hier sind meine Ausführungen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{4^n}=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^n} \* x^{2n+1}
[/mm]
Eine Potenzreihe hat die Form
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n \*z^n
[/mm]
In der Aufgabe ist das [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{4^n} [/mm] und [mm] z^n= x^{2n+1}
[/mm]
Bei der Rechnung muss ich ja nur das [mm] a_n [/mm] betrachten....
Ich benutze das Quotientenkriterium.
[mm] q=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{4^n}{4^{n+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{4^n}{4^{n}} \* \frac{1}{4} [/mm]
Ab hier stimmt doch irgendetwas nicht..
Ich würde dann auf einen Radius von 4 kommen..
Ich wäre für zämtliche Kritik dankbar.
Liebe Grüße
Sachsen-Junge
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> Berechne den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:
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> Hier sind meine Ausführungen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{4^n}=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^n} \* x^{2n+1}[/mm]
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> Eine Potenzreihe hat die Form
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n \*z^n[/mm]
Hallo,
in der Dir vorliegenden Reihe ist es nun so, daß jedes zweite der Folgenglieder =0 ist, denn
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^n} \* x^{2n+1}=\frac{1}{4^0} \* x^{1} [/mm] + [mm] 0*x^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{4^1} \* x^{3}+0*x^4+ \frac{1}{4^2} \* x^{5}+....
[/mm]
Das macht die direkte Anwendung des Quotientenkriteriums unmöglich, denn jeder zweite der Quotienten [mm] \bruch{a_n}{a_{n+2}} [/mm] ist ja gar nicht definiert.
Wenn Du hier das Quotienenkriterium anwenden möchest, kannst Du Dich wie folgt aus der Affäre ziehen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^n} \* x^{2n+1}= \summe_{n=0}^{\infty}\frac{x}{4^n} \* x^{2n}.
[/mm]
Nun sagst Du [mm] z:=x^2 [/mm] und berechnest den Konvergenzradius R für [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{x}{4^n} \*z^n.
[/mm]
Du weißt anschließend: für |z|<R konvergiert die Reihe, und daraus ermittelst Du dann, für welche x sie konvergiert.
Ein anderer Weg wäre der über Cauchy-Hadamard: [mm] R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. [/mm]
Ein kleines bißchen aufpassen muß man hierbei auch - Du kannst das ja anschließend mal probieren.
Gruß v. Angela
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Hallo angela.
danke nochmal das du mir wieder hilfst!!!
Ich habe stehen:
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^n} [/mm] * [mm] x^{2n+1}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{4^n} [/mm] * [mm] x^{2n}
[/mm]
[mm] q=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{x*4^n}{x *4^{n+1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{x} \*\frac{4^n}{4^{n+1}}= \frac{1}{4}
[/mm]
Das heißt, ich bekomme einen Radius von 4 raus, stimmt das??
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> Hallo angela.
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> danke nochmal das du mir wieder hilfst!!!
>
> Ich habe stehen:
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> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^n}[/mm] * [mm]x^{2n+1}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x}{4^n}[/mm]
> * [mm]x^{2n}[/mm]
>
> [mm]q=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{x*4^n}{x *4^{n+1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{x} \*\frac{4^n}{4^{n+1}}= \frac{1}{4}[/mm]
>
> Das heißt, ich bekomme einen Radius von 4 raus, stimmt
> das??
Hallo,
naja, das stimmt so halb:
Du weißt jetzt, daß die Reihe für [mm] |x^2|<4 [/mm] konvergiert.
Um den Konvergenzradius zu haben, mußt Du aber wissen, für welche x die Reihe konvergiert.
Also?
Gruß v. Angela
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Aus der Bedingung:
[mm] |x^2|<4 \Rightarrow [/mm] für x<2
d.h. x<2 ist die Reihe konvergent ????
Hättest du ein Link wo das mit dem Konvergenzradius erklärt ist?? Wo ein Bsp. vorgerechnet ist, damit isch die Vorgehensweise mal sehe....
LG
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> Aus der Bedingung:
> [mm]|x^2|<4 \Rightarrow[/mm] für x<2
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> d.h. x<2 ist die Reihe konvergent ????
Hallo,
ja, genau.
> Hättest du ein Link wo das mit dem Konvergenzradius erklärt
> ist??
Wenn ich was vergesse, gucke ich meist erstmal bei der Wikipedia, aber ich glaube, da gibt's keine Beispiele.
Vom Prinzip her ist das mit dem Konvergenzradius ja auch nicht so schwer, man muß bloß ein bißchen findig sein, wenn die Reihen nicht genau die Gestalt [mm] \summe a_nx^n [/mm] haben, wie eben im vorliegenden Beispiel.
Speziell eine Seite mit vorgerechneten Beispielen weiß ich nicht, aber ich bin mir sicher, daß sich hier im Forum eine Menge gerechneter Konvergenzradiusaufgaben finden.
Gruß v. Angela
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