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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mi 12.11.2008 | | Autor: | studi08 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Bestimme den Konvergenzradius der Potenreihen:
$ \summe_{n=1}^{\infty} z^n(\wurzel{n}-1)^\wurzel{n} $ |
Ich habe bereits versucht,den Konvergenzradius mit dem Wurzel- und dem Quotientenkriterium zu berechnen.
Beim Wurzelkriterium kam ich dabei zu folgendem Zwischenergebnis:
$ \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n}-1)^{1/\wurzel{n}}} $
Wie geht es nun weiter?oder wäre das Quotientenkriterium die bessere Wahl?
Besten Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:03 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimme den Konvergenzradius der Potenreihen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} z^n(\wurzel{n}-1)^\wurzel{n} [/mm]
> Ich
> habe bereits versucht,den Konvergenzradius mit dem Wurzel-
> und dem Quotientenkriterium zu berechnen.
> Beim Wurzelkriterium kam ich dabei zu folgendem
> Zwischenergebnis:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n}-1)^{1/\wurzel{n}}}[/mm]
das ist okay. Hier ist [mm] $a_n=|a_n|=(\wurzel{n}-1)^\wurzel{n}\,.$ [/mm] Also ist
[mm] $$\sqrt[n]{|a_n|}=(\sqrt{n}-1)^{1/\sqrt{n}}\,.$$
[/mm]
Folgende Tipps nun von mir:
[mm] $\bullet$ [/mm] $1 [mm] \le \sqrt{n}-1 \le \sqrt{n}$ [/mm] gilt für alle $n [mm] \ge 4\,.$
[/mm]
Damit folgt für alle $n [mm] \ge 4\,:$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] $1 [mm] \le (\sqrt{n}-1)^{1/\sqrt{n}} \le \sqrt{n}^{\,1/\sqrt{n}}\,.$
[/mm]
Weiter gilt für jedes $x > 0$:
[mm] $$x^{1/x}=\exp\left(\frac{1}{x}*\ln(x)\right)\,.$$
[/mm]
Da [mm] $\exp(\cdot)$ [/mm] stetig ist (insbesondere rechtsstetig an [mm] $x_0=1$) [/mm] und wegen [mm] $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}\ln(x)=0^+$ [/mm] (Hospital!) gilt [mm] $x^x \to [/mm] 1^+$ bei $x [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Mit [mm] $\lim_{x \to \infty}\sqrt{x}=\infty$ [/mm] folgt daher auch
[mm] $$\lim_{x \to \infty} {\sqrt{x}^{\,1/\sqrt{x}}}=1^+\,.$$
[/mm]
Also auch [mm] $\sqrt{n}^{\,1/\sqrt{n}} \to 1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mo 17.11.2008 | | Autor: | studi08 |
Vielen Dank, Marcel: ich habe mir die Aufgabe jetzt nochmals angesehen und bin dank deinen Tipps zum richtigen Ergebnis gekommen.
Nochmals ein herzliches Dankeschön und auf bald!
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