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Hallo zusammen. Ich habe leider ein paar kleine Fragen bezüglich der Potenzreihen.
Eine potenzreihe ist ja eine unendliche Reihe der Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n [/mm] (Reell) bzw. [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k(z-z_0)^k [/mm] (Komplex).
Ich unterscheide das eigentlich immer nur, um anschließend sagen zu können, dass aus dem reellen Fall der Konvergenzradius und aus der Komplexen Fall der Konvergenzkreis resultiert.
Ich möchte nun das ganze Komplex betrachten.
Zu untersuchen ist ja nun die Frage, für welche Werte z die Reihe konvergiert. P.S. sie konvergiert, wenn [mm] |z-z_0| [/mm] ,,klein'' ist und divergiert wenn [mm] |z-z_0| [/mm] ,,groß'' ist.
Das einzige Problem welches ich nun immer habe ist, welche Regeln ich anwenden muss um z überhaupt zu bestimmen und wann ich denn überhaupt von ,,klein'' und ,,groß'' sprechen darf!!!
ich steh bei diesem Thema leider noch ein bischen auf dem Schlauch so das ich wirklich für jede Hilfe dankbar wäre.
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Mo 27.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Wie im Reellen berechnet sich der Konvergenzradius R aus
[mm] \rho [/mm] = limsup [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] und R = [mm] 1/\rho [/mm] mit der Konvention R = 0, falls [mm] \rho [/mm] = [mm] \infty, [/mm] und R = [mm] \infty, [/mm] falls [mm] \rho [/mm] = 0
FRED
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Alles klar. Dann habe ich das soweit verstanden. Dankeschön.
Eine Frage bleibt allerdings bei mir leider noch unverständlich. Ist es nicht eigentlich der Fall, dass ich den Konvergenzradius nur unter bestimmten Voraussetzungen mit dazugehörigen Kriterien anwenden darf??? Ich hatte da mal was von einem Quotientenkriterium gelesen.
Was für Kriterien gibt es und wann darf ich welche anwenden???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 27.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Alles klar. Dann habe ich das soweit verstanden.
> Dankeschön.
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> Eine Frage bleibt allerdings bei mir leider noch
> unverständlich. Ist es nicht eigentlich der Fall, dass ich
> den Konvergenzradius nur unter bestimmten Voraussetzungen
> mit dazugehörigen Kriterien anwenden darf??? Ich hatte da
> mal was von einem Quotientenkriterium gelesen.
>
Falls [mm] a_n \not= [/mm] 0 für jedes n [mm] \in \IN [/mm] und die Folge [mm] (|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|) [/mm] konvergiert, so ist R = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|
[/mm]
FRED
> Was für Kriterien gibt es und wann darf ich welche
> anwenden???
>
> MFG domenigge135
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Sorry... Ich bins nochmal.
Ich danke dir für deine Antwort. Nur leider kann ich nicht wirklich was damit anfangen. Meine frage war ja, wann ich unter welchen Voraussetungen welche Krietrien anwenden muss, um den Konvergenzradius bestimmen zu können.
Es gibt dort ja Majorantenkriterium, Minorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Leibnizkriterium...
welchen Bezug haben diese Kriterien auf die Berechnung meines Konvergenzradius. Hängt der Radius von diesen Kriterien ab oder wofür brauche ich diese Kriterien???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Für die Ermittlung des Konverganzradius' eines Potenzreihe gelten o.g. beide Formeln (siehe Fred's 1. Antwort).
Mit den von Dir genannten Kriterien kannst Du lediglich bestimmen, ob eine Reihe konvergiert oder nicht. Dabei muss aber nicht immer jedes Kriterium zu jeder Reihe "passen".
Gruß
Loddar
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