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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Di 21.08.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Ermitteln sie die Potenzreihendarstellung im Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] bis zum vierten nichtverschwindenden Glied für die Lösung des Anfangswertproblems:
[mm] (y')^{2}+2y^{2}=1
[/mm]
mit $y(0)=0$ ; $y'(0)>0$ |
Hallo,
komm bei der Aufgabe wiedermal nicht weiter.
Hab erstmal ne Tabelle für y und y' aufgestellt:
[mm] x^{0} [/mm] | [mm] x^{1} [/mm] | [mm] x^{2} [/mm] | [mm] x^{3} [/mm] | [mm] x^{4} [/mm] | [mm] x^{5}
[/mm]
-------------------------------------------------------
y [mm] a_{0} [/mm] | [mm] a_{1} [/mm] | [mm] a_{2} [/mm] | [mm] a_{3} [/mm] | [mm] a_{4} [/mm] | [mm] a_{5}
[/mm]
-------------------------------------------------------
y' [mm] a_{1} [/mm] | [mm] 2a_{2} [/mm] | [mm] 3a_{3} [/mm] | [mm] 4a_{4} [/mm] | [mm] 5a_{5} [/mm] | [mm] 6a_{6}
[/mm]
So dann ist [mm] a_{0}=0 [/mm] und [mm] a_{1}>0
[/mm]
also:
[mm] 2a_{0}^{2}+(a_{1})^{2}=1 [/mm] mit [mm] a_{0}=0
[/mm]
[mm] a_{1}=\pm [/mm] 1 und da [mm] a_{1}>0 [/mm] ; [mm] a_{1}=1
[/mm]
danach wollte ich so weitermachen:
[mm] 2a_{1}^{2}+(2a_{2})^{2}=0 [/mm] mit [mm] a_{1}=1
[/mm]
[mm] 2+(2a_{2})^{2}=0
[/mm]
und das führt zu:
[mm] (2a_{2})^{2}=-2
[/mm]
Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter... Wie geht das?? Schonmal danke für Eure Hilfe!!!
Musterlösung: [mm] y=x-\bruch{1}{3}x^{3}+\bruch{1}{30}x^{5}-\bruch{1}{630}x^{7}
[/mm]
LG
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Di 21.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Unsere gesuchte Potenzreihe sieht doch wie folgt aus:
$p(x) \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{y^{(k)}(0)}{k!}*x^k [/mm] \ = \ [mm] y(0)+y'(0)*x+\bruch{y''(0)}{2!}*x^2+\bruch{y'''(0)}{3!}*x^3+\bruch{y^{(4)}(0)}{4!}*x^4+\bruch{y^{(5)}(0)}{5!}*x^5+...$
[/mm]
Und nun berechne die Koeffizienten [mm] $y^{(k)}(0)$ [/mm] durch Differenzieren und Einsetzen:
[mm] $\left(y'\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 1-2y^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $y' \ = \ [mm] \wurzel{1-y^2}$ $\Rightarrow$ [/mm] $y'(0) \ = \ [mm] \wurzel{1-2*y^2(0)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{1-2*0^2} [/mm] \ = \ 1$
Die folgenden Koeffizienten erhalten wir duch Differenzieren je Seite:
$2*y'*y'' \ = \ [mm] -2*2*y^1*y'$ $\gdw$ [/mm] $y'' \ = \ -2*y$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $y''(0) \ = \ -2*y(0) \ = \ ...$
$y''' \ = \ -2*y'$ usw.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:19 Mi 22.08.2007 | | Autor: | polyurie |
Vielen Dank!!!!!!!
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