Potenzreihen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:32 Di 16.11.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
Hätte ein dringendes Anliegen:
Es geht um folgende Aufgabe:
Welche Funktionen werden durch die Potenzreihen
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^{3n}/(3n)! [/mm] ,
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} z^{4n+1}/(4n+1)!
[/mm]
dargestellt?
Das erste ähnelt auf den ersten Blick exp(z) und die Zweite erinnert mich einwenig an sin(z) [mm] z\in \IC.
[/mm]
Aber ich weiß wirklich nicht wie ich hier vorgehen muss!
Ich bin somit für jeden Vorschlag dankbar!
mfg Floyd
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Gruß!
Diese Aufgabe hat etwas gedauert... aber wir haben mit vereinten Kräften im Büro was rausbekommen. 
Es gilt doch: $cosh(x) = [mm] \frac{e^x + e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}$
[/mm]
Der Trick ist nun, mit den Einheitswurzeln zu arbeiten. Sei [mm] $\zeta \in \IC$ [/mm] eine nicht-triviale 3. Einheitswurzel, also [mm] $\zeta^3 [/mm] = 1$ und [mm] $\zeta^2 [/mm] = [mm] \bar{\zeta}$.
[/mm]
Es gilt: $1 + [mm] \zeta [/mm] + [mm] \zeta^2 [/mm] = 0$ (Denn wenn man das mit [mm] $\zeta$ [/mm] multipliziert, kommt wieder der Ausdruck heraus und da [mm] $\zeta \not= [/mm] 1$ muß der Ausdruck 0 sein.
Betrachten wir nun: $f(z) := [mm] e^z [/mm] + [mm] e^{\zeta z} [/mm] + [mm] e^{\zeta^2 z}$
[/mm]
Dann folgt: $f(z) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k(1 + \zeta^k + \zeta^{2k})}{k!}$
[/mm]
Falls $k$ durch 3 teilbar ist, ergibt das einfach 3. Andernfalls ist der Ausdruck in der Klammer 0, also fallen die Summanden weg. Insgesamt ergibt sich:
[mm] $\frac{f(z)}{3} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{3k}}{(3k)!}$
[/mm]
Und das war der erste Streich. Der zweite geht bestimmt so ähnlich - versuch es mal!
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Do 18.11.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
Danke für die Antwort!
Bei der zweiten Reihe verwendet man übrigens die 8. Einheitswurzeln.
mfg Floyd
|
|
|
|
