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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Do 25.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IC\to\IC [/mm] mit
[mm] f(z)=\begin{cases}\bruch{z}{e^z-1}&z\in\IC\backslash\{0\}\\1&z=0\end{cases}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass f in einer Umgebung von [mm] z_0=0 [/mm] als Potenzreihe von Potenzen in ??? dargestellt werden kann und geben Sie den Konvergenzradius dieser Potenzreihe an. Berechnen Sie die Koeffizienten [mm] a_0,a_1,a_2,a_3,a_4 [/mm] der Potenzreihe. (bei ??? fehlt irgendwas in der Aufgabenstellung) |
Bei der Aufgabe steh ich irgendwie bisl aufm Schlauch. Weiß net so recht, was zu tun ist. Hat jemand ein/zwei Tipps für mich? ;)
Also als Potenzreihe darstellbar ist f ja, wenn sie analytisch ist. Und analytisch ist sie wenn sie in einer Umgebung von [mm] z_0 [/mm] differenziebar ist. Hilft mir das irgendwie?
Oder sollte ich "einfach" nur die Potenzreihe aufschreiben? Aber dann müsste ich ja die Koeffizienten [mm] a_0 [/mm] bis [mm] a_4 [/mm] nicht nochmal extra angeben?! (bin verwirrt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Fr 26.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit
>
> [mm]f(z)=\begin{cases}\bruch{z}{e^z-1}&z\in\IC\backslash\{0\}\\1&z=0\end{cases}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass f in einer Umgebung von [mm]z_0=0[/mm] als
> Potenzreihe von Potenzen in ??? dargestellt werden kann und
> geben Sie den Konvergenzradius dieser Potenzreihe an.
> Berechnen Sie die Koeffizienten [mm]a_0,a_1,a_2,a_3,a_4[/mm] der
> Potenzreihe. (bei ??? fehlt irgendwas in der
> Aufgabenstellung)
Das ??? soll wohl ein $z$ sein.
> Bei der Aufgabe steh ich irgendwie bisl aufm Schlauch.
> Weiß net so recht, was zu tun ist. Hat jemand ein/zwei
> Tipps für mich? ;)
>
> Also als Potenzreihe darstellbar ist f ja, wenn sie
> analytisch ist. Und analytisch ist sie wenn sie in einer
> Umgebung von [mm]z_0[/mm] differenziebar ist. Hilft mir das
> irgendwie?
Nicht direkt, bzw. es geht einfacher. Kennst du den Riemannschen Hebbarkeitssatz? Wenn du den kennst, brauchst du nur zu zeigen dass $f$ in einer Umgebung von 0 beschraenkt ist und dass es eine Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] (ungleich 0) mit Grenzwert 0 gibt mit [mm] $\lim f(z_n) [/mm] = f(0)$.
> Oder sollte ich "einfach" nur die Potenzreihe aufschreiben?
Das willst du nicht :)
Um die Koeffizienten zu bestimmen, schreib hin [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n [/mm] = [mm] \frac{z}{e^z - 1}$ [/mm] (fuer $z [mm] \neq [/mm] 0$). Wenn du jetzt beide Seiten mit [mm] $e^z [/mm] - 1$ multiplizierst, bzw. der Potenzreihe davon, und wenn du das auf der linken Seite dann ausmultipilizierst (Cauchy-Produkt) kannst du Koeffizientenvergleich machen. Damit kannst du [mm] $a_0, \dots, a_4$ [/mm] bestimmen. (Und eine Gleichung fuer [mm] $a_n$ [/mm] aus [mm] $a_0, \dots, a_{n-1}$ [/mm] hinschreiben, aber das brauchst du nicht.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Vielen Dank schonmal.
Also mal sehen, ob ich das jetzt richtig mache:
Da [mm] \limes_{z\to 0}f(z)=\limes_{z\to 0}\bruch{z}{e^z-1}=\glqq\bruch{0}{0}\grqq{}=\limes_{z\to 0}\bruch{1}{e^z}=1 [/mm] existiert,
ist f in [mm] z_0=0 [/mm] hebbar, und damit als Potenzreihe darstellbar.
Da f damit auf ganz [mm] \IC\backslash\{0\} [/mm] differenzierbar ist, ist der Konvergenzradius [mm] r=\infty.
[/mm]
Da [mm] e^z=\summe_{n=0}^\infty\bruch{1}{n!}z^n,
[/mm]
[mm] e^z-1=\summe_{n=1}^\infty\bruch{1}{n!}z^n,
[/mm]
ist [mm] f(z)=\summe_{k=0}^\infty a_kz^k=\bruch{z}{e^z-1} (z\neq [/mm] 0)
genau dann, wenn
[mm] \left(\summe_{k=0}^\infty a_kz^k\right)\left(\summe_{n=1}^\infty\bruch{1}{n!}z^n\right)=z, [/mm] d.h.
[mm] (a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4+...)(z+\bruch{1}{2}z^2+\bruch{1}{6}z^3+...)=z
[/mm]
Koeffizientvergleich ergibt:
[mm] a_0*z=z \Rightarrow a_0=1
[/mm]
[mm] a_1 z^2+\bruch{1}{2}a_0z^2=0 \Rightarrow a_1=-\bruch{1}{2}a_0=-\bruch{1}{2}
[/mm]
usw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Fr 26.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Da [mm]\limes_{z\to 0}f(z)=\limes_{z\to 0}\bruch{z}{e^z-1}=\glqq\bruch{0}{0}\grqq{}=\limes_{z\to 0}\bruch{1}{e^z}=1[/mm]
> existiert,
L'Hospital gibt es im Komplexen nicht. Am besten du nimmst die Reihendarstellung der e-Funktion - damit kann man das direkt beweisen.
> ist f in [mm]z_0=0[/mm] hebbar, und damit als Potenzreihe
> darstellbar.
>
> Da f damit auf ganz [mm]\IC\backslash\{0\}[/mm] differenzierbar ist,
> ist der Konvergenzradius [mm]r=\infty.[/mm]
Jupp.
> [mm](a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3+a_4z^4+...)(z+\bruch{1}{2}z^2+\bruch{1}{6}z^3+...)=z[/mm]
> Koeffizientvergleich ergibt:
> [mm]a_0*z=z \Rightarrow a_0=1[/mm]
> [mm]a_1 z^2+\bruch{1}{2}a_0z^2=0 \Rightarrow a_1=-\bruch{1}{2}a_0=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> usw.
Scheint mir richtig zu sein bis hierher. Jetzt kann man sich nur noch verrechnen, aber prinbzipiell alles richtig. 
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Nochmal zum Verständnis:
Warum reicht es eigentlich zu zeigen, dass [mm] \limes_{z\to z_0}f(z)=f(z_0) [/mm] ?
Damit zeig ich doch eigentlich nur, dass f in [mm] z_0 [/mm] stetig ist?! Folgt daraus denn automatisch auch, dass f in [mm] z_0 [/mm] analytisch ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Fr 26.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Warum reicht es eigentlich zu zeigen, dass [mm]\limes_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)[/mm]
Stetigkeit impliziert Beschränktheit. ![[]](/images/popup.gif) Fertig mit Satz.
SEcki
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