Potenzreihe und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe von Potenzreihen die folgenden Grenzwerte (versuchen Sie auch, sie mit der Regel von de lHospital zu berechnen und vergleichen Sie den Arbeitsaufwand):
a) [mm] \lim_{x \to 0}\ \frac{\ln \left(1+x \right)- \sin^2 x} {1-e^{-x^2}} [/mm] |
Hallo zusammen. Ich verstehe die o.g. Aufgabe so, dass ich die Funktion zuerst als Potenzreihe umschreiben muss. Aber dafür finde ich einfach keinen geeigneten Ansatz. Kommt man eventuell mit der Cauchy-Produktformel weiter? Wie?
Gruß, Christoph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Christoph und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimmen Sie mit Hilfe von Potenzreihen die folgenden
> Grenzwerte (versuchen Sie auch, sie mit der Regel von de
> lHospital zu berechnen und vergleichen Sie den
> Arbeitsaufwand):
> a) [mm]\lim_{x \to 0}\ \frac{\ln \left(1+x \right)- \sin^2 x} {1-e^{-x^2}}[/mm]
>
> Hallo zusammen. Ich verstehe die o.g. Aufgabe so, dass ich
> die Funktion zuerst als Potenzreihe umschreiben muss. Aber
> dafür finde ich einfach keinen geeigneten Ansatz. Kommt man
> eventuell mit der Cauchy-Produktformel weiter? Wie?
Nimm dir die Potenzreihen bzw. die Taylorreihen der einzelnen Terme her:
[mm] $\ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}\frac{x^n}{n}$
[/mm]
[mm] $\sin(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$
[/mm]
[mm] $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ [/mm] und damit [mm] $e^{-x^2}=...$
[/mm]
Dann model mal alles zusammen, schreibe dazu vllt. mal jeweils die ersten 3 bis 4 Summanden der Reihen hin, die Reste der Reihen als $O(..)$ hintendran (also nur die Größenordnung der Reste ab dem 4. oder 5. Summanden)
Dann nett zusammenfassen und schauen, was für [mm] $x\to [/mm] 0$ passiert
>
> Gruß, Christoph
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
erst jetzt haben meine scharfen Adleraugen entdeckt, dass ja da im Zähler nicht [mm] $\sin(x)$, [/mm] sondern [mm] $\sin^{\red{2}}(x)$ [/mm] steht
Da hilft vllt. die Umformung [mm] $\sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)$ [/mm] und die Reihendarstellung des [mm] $\cos$ [/mm] weiter ...
Kannste ja mal antesten
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Danke!
In der Aufgabenstellung hab ich mich vertippt:
[mm]\lim_{x \to 0}\ \frac{\ln^2 \left(1+x \right)- \sin^2 x} {1-e^{-x^2}}[/mm]
Aber irgendwie komm ich jetzt nicht mehr weiter:
[mm]\left( \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2^n*(-1)^n}{n!}*x^{n+1}- \left(x^n* \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1 )^{n+2}}{kn-k^2} \right) \right)* \summe_{n=0}^{\infty}e^{-x^2*n}[/mm]
Meine Berechnung von [mm]\sin^2 x[/mm]stimmt schonmal nicht mit dem überein, was ich bei der Cosinusdarstellung rauskriege: [mm]\bruch{1}{2}-2^n* \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm] Und kann ich die e-Funktion tasächlich als geometrische Reihe schreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Do 18.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Schachuzipus hat Dir doch schon alles aufgeschrieben, was Du verwenden sollst. Da Du später $x [mm] \to [/mm] 0$ laufen läßt, kannst Du auch zunächst z.B. auch $o.B.d.A.$ [mm] $|\black{x}| [/mm] < 1$ annehmen.
Im Falle [mm] $\black{|x|} [/mm] < 1$ ist die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}\frac{x^n}{n}$ [/mm] (bitte beachten, dass diese bei $n=1$ startet!) absolut konvergent (die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n+1}\cdot{}\frac{x^n}{n}\right| =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ [/mm] hat eine (bekannte) einfache Majorante; welche?), also kann man für [mm] $|\black{x}| [/mm] < 1$ dann
$$
[mm] \ln^2(1+x)=\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}\frac{x^n}{n}\right)*\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}\frac{x^n}{n}\right)
[/mm]
$$
nach ![[]](/images/popup.gif) Mertens mit dem Cauchyprodukt berechnen.
(Du kannst meinetwegen auch [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}\frac{x^n}{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\cdot{}\frac{x^{n+1}}{n+1}$ [/mm] schreiben (Indexshift und beachte [mm] $(-1)^{n+2}=(-1)^n$), [/mm] damit die Reihe die passende Form dafür hat.)
Analoges kannst Du Dir für [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] überlegen (oder benutze, wie schon erwähnt, falls das jetzt erwähnte in der Vorlesung bekannt, das, was Schachuzipus vorgeschlagen hat. Es ergibt sich mit dem Additionstheorem für den Kosinus so:
[mm] $\cos(2x)=\cos(x+x)=\cos(x)*\cos(x)-\sin(x)*\sin(x)$ [/mm] und mit dem trigonometrischen Pythagoras [mm] $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ [/mm] folgt:
[mm] $\cos(2x)=1-2\sin^2(x)\;$:)
[/mm]
Dass Du [mm] $\frac{1}{1-e^{-x^2}}=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-x^2 n}$ [/mm] geschrieben hast, finde ich nicht weiter schlimm. Du solltest dabei nur beachten, dass das nur für die [mm] $\black{x}$ [/mm] geht, für die [mm] $|e^{-x^2}| [/mm] < 1$. Also diese Umformung geht sicher für $x [mm] \not=0$. [/mm] Ob's was bringt, weiß ich nicht, aber alleine vom Rechenaufwand:
1.) [mm] $\ln^2(1+x)$ [/mm] mit Cauchy-Produkt liefert eine Reihe
2.) [mm] $\sin^2(x)$ [/mm] mit Cauchy-Produkt (oder etwas einfacher mit Additionstheorem) liefert eine Reihe
und wenn ich mir dann überlege: [mm] $\frac{1}{1-e^{-x^2}}$ [/mm] wieder als Reihe zu schreiben, dann werden ja schon wieder Reihen miteinander multipliziert. Du kannst ja ruhig mal so rechnen und gucken, ob was vernünftiges dabei herauskommt...
Aber Schachuzipus hat Dir auch einen anderen Tipp gegeben. Er verweist auf die Reihendarstellung der Exponentialfunktion:
[mm] $e^{z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$
[/mm]
Das liefert Dir dann:
$$
[mm] 1-e^{-x^2}=1-\sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^2)^{n}}{n!}=-\sum_{n=1}^\infty (-1)^n *\frac{x^{2n}}{n!}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} *\frac{x^{2n}}{n!}
[/mm]
$$
und das solltest Du im Nenner einsetzen.
P.S.:
Nur, falls Du mit den hier vorgeschlagenen Wegen nicht weiterkommen solltest (was ich nicht beurteilen kann/will, da ich die Aufgabe nicht gerechnet habe):
Es kann natürlich auch sein, dass es Sinn machen könnte, dass Du im Zähler zunächst die 3. bin. Formel benutzt, also:
[mm] $\ln^2(1+x)-\sin^2(x)=(\ln(1+x)+\sin(x))*(\ln(1+x)-\sin(x))$ [/mm] schreibst, dann jeweils die Reihendarstellung (für $|x| < 1$) benutzt usw. (vielleicht kommt dann auch irgendwann nochmal das Cauchyprodukt ins Spiel)...
Also im Prinzip gibt es damit jetzt schonmal 3 mögliche Wege, die Du gehen kannst, hoffen wir, dass wenigstens einer davon zielführend sein wird 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Uff... dann werd ich mich mal ans rechnen begeben  Vielen Dank für die ausführliche Hilfe!
Gruß, Christoph
|
|
|
|
