Potenzreihe mit Lücken < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 So 26.03.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | In der Potenzreihe P(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n} [/mm] sei [mm] c_{2k} \not= [/mm] 0 für fast alle k und es existiere c := [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{c_{2k+1}}{c_{2k+3}}|.
[/mm]
Dann ist R:= [mm] \sqrt{c} [/mm] der Konvergenzradius.
Wenn [mm] c_{2k+1} [/mm] = und [mm] c_{2k} \not= [/mm] 0 für fast alle k ist und er Grenzwert c:= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{c_{2k}}{c_{2k+2}}| [/mm] existiert, so ist ebenfalls R:= [mm] \sqrt{c} [/mm] der Konvergenzradius. |
Hallo nochmal,
das da oben ist unsere Definition vom Konvergenzradius von Potenzreihe mit Lücken!
Der Konvergenzradius von Potenzreihe krieg ich eigentlich ganz gut auf die Reihe, jedoch verstehe ich dieses hier überhaupt nicht.
Ich habe überhaupt keine Ahnung was mit Lücken bei Potenzreihe gemeint ist. Kann mir das bitte jemand erklären und evtl. auch ein Bsp angeben, wo der Konvergenzradius von Potenzreihen mit Lücken zum Tragen kommt??
MfG
Gerd
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Gerd!
> In der Potenzreihe P(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}[/mm]
> sei [mm]c_{2k} \not=[/mm] 0 für fast alle k und es existiere c :=
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{c_{2k+1}}{c_{2k+3}}|.[/mm]
> Dann ist R:= [mm]\sqrt{c}[/mm] der Konvergenzradius.
>
> Wenn [mm]c_{2k+1}[/mm] = und [mm]c_{2k} \not=[/mm] 0 für fast alle k ist und
> er Grenzwert c:= [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{c_{2k}}{c_{2k+2}}|[/mm]
> existiert, so ist ebenfalls R:= [mm]\sqrt{c}[/mm] der
> Konvergenzradius.
> Hallo nochmal,
>
> das da oben ist unsere Definition vom Konvergenzradius von
> Potenzreihe mit Lücken!
> Der Konvergenzradius von Potenzreihe krieg ich eigentlich
> ganz gut auf die Reihe, jedoch verstehe ich dieses hier
> überhaupt nicht.
> Ich habe überhaupt keine Ahnung was mit Lücken bei
> Potenzreihe gemeint ist. Kann mir das bitte jemand erklären
> und evtl. auch ein Bsp angeben, wo der Konvergenzradius von
> Potenzreihen mit Lücken zum Tragen kommt??
Eine Potenzreihe ''mit Luecke'' meint hier eine Potenzreihe [mm] $\sum a_n [/mm] (x - a)$ so, dass [mm] $a_n$ [/mm] fuer alle geraden $n$ (oder alle ungeraden $n$) gleich $0$ ist, aber fuer fast alle (also alle bis auf endlich viele) ungeraden $n$ (oder geraden $n$) ungleich $0$ ist. Beispiele sind z.B. $f(x) := [mm] \sum_{n=0}^\infty x^{2 n}$ [/mm] und $g(x) := [mm] \sum_{n=0}^\infty x^{2 n+1}$, [/mm] oder (ganz prominent) die Potenzreihen von [mm] $\sin [/mm] x$ und [mm] $\cos [/mm] x$!
Fuer $f(x)$ ist beisipelsweise $f(x) = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ [/mm] mit [mm] $a_{2k} [/mm] = 1$ und [mm] $a_{2k+1} [/mm] = 0$, $k [mm] \in \IN$; [/mm] dagegen ist $g(x) = [mm] \sum_{k=0}^\infty b_k x^k$ [/mm] mit [mm] $b_{2k} [/mm] = 0$ und [mm] $b_{2k+1} [/mm] = 1$, $k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Wenn du jetzt von $f$ oder $g$ den Konvergenzradius ausrechnen willst, kannst du mit der Formel [mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$ [/mm] nicht viel anfangen, da die Brueche abwechselnd $0$ oder undefiniert sind (jeweils abhaengig davon ob $n$ gerade oder ungerade ist). Deswegen brauchst du fuer diese Faelle eine andere Formel, halt die aus der Definition oben!
Hilft dir das weiter?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 So 26.03.2006 | | Autor: | Geddie |
Danke! Das hilft mir super weiter! Jetzt kann ich das Kapitel auch als verstanden abhaken! Tausend Dank!!
|
|
|
|
