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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Do 02.01.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | | Geben Sie eine Potenzreihe um -2 mit Konvergenzradius 3 an, die in 1 konvergiert und in -5 divergiert & belegen Sie ihre Behauptung. |
Hi,
ich habe eine Ansatz, jedoch nur einen ganz "kleinen".
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] (x+2)
dann habe ich [mm] x_0 [/mm] = -2, "um -2"
Jetzt muss ich eine Reihe erstellen die bei 1/Wurzelkriterium = 3 ergibt.
Da habe ich jedoch mein großes Problem. Ich komm nicht wirklich auf eine.
Hatte eine "kleine" Idee:
[mm] a_n [/mm] = [mm] 3^{-n}
[/mm]
Dann hätte ich [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{3^{-n}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3^{-1}} [/mm] = 3
Dann berechne ich die x Werte:
[mm] x_1 [/mm] : [mm] x_0 [/mm] + r = -2 + 3 = 1
[mm] x_2 [/mm] : [mm] x_0 [/mm] - r = -2 - 3 = -5
einsetzen in die Reihe:
für [mm] x_1 [/mm] : [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3}{3^n}
[/mm]
für [mm] x_1 [/mm] : [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{-3}{3^n}
[/mm]
Und wenn mich nicht alles täuscht konvergieren diese beiden Reihen.
Also denke ich mal das meine Reihe falsch ist.
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Hallo,
> Geben Sie eine Potenzreihe um -2 mit Konvergenzradius 3 an,
> die in 1 konvergiert und in -5 divergiert & belegen Sie
> ihre Behauptung.
> Hi,
>
> ich habe eine Ansatz, jedoch nur einen ganz "kleinen".
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n[/mm] (x+2)
Das muss doch wohl [mm] $\sum\limits_{n\ge 0}a_n(x+2)^{\red n}$ [/mm] lauten ...
> dann habe ich [mm]x_0[/mm] = -2, "um -2"
>
> Jetzt muss ich eine Reihe erstellen die bei
> 1/Wurzelkriterium = 3 ergibt.
> Da habe ich jedoch mein großes Problem. Ich komm nicht
> wirklich auf eine.
> Hatte eine "kleine" Idee:
> [mm]a_n[/mm] = [mm]3^{-n}[/mm]
> Dann hätte ich [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{3^{-n}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3^{-1}}[/mm] = 3
>
> Dann berechne ich die x Werte:
> [mm]x_1[/mm] : [mm]x_0[/mm] + r = -2 + 3 = 1
> [mm]x_2[/mm] : [mm]x_0[/mm] - r = -2 - 3 = -5
>
> einsetzen in die Reihe:
> für [mm]x_1[/mm] : [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3}{3^n}[/mm]
> für [mm]x_1[/mm]
> : [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{-3}{3^n}[/mm]
>
> Und wenn mich nicht alles täuscht konvergieren diese
> beiden Reihen.
>
> Also denke ich mal das meine Reihe falsch ist.
Das ist wahr, so passt es nicht.
Einen schematischen Weg habe ich gerade nicht parat, aber du kannst dich an der Reihe aus deiner anderen Aufgabe orientieren.
Wenn du daran etwas rumbastelst, kommst du schnell auf das Gewünschte ...
Beachte, dass du hier (im Hinblick auf die andere Aufgabe) die Konvergenz/Divergenz an den Intervallrändern durch Multiplikation von [mm] $a_n$ [/mm] mit [mm] $(-1)^n$ [/mm] vertauschen kannst ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> > Geben Sie eine Potenzreihe um -2 mit Konvergenzradius 3
> an,
> > die in 1 konvergiert und in -5 divergiert & belegen Sie
> > ihre Behauptung.
> > Hi,
> >
> > ich habe eine Ansatz, jedoch nur einen ganz "kleinen".
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n[/mm] (x+2)
>
> Das muss doch wohl [mm]\sum\limits_{n\ge 0}a_n(x+2)^{\red n}[/mm]
> lauten ...
>
> > dann habe ich [mm]x_0[/mm] = -2, "um -2"
> >
> > Jetzt muss ich eine Reihe erstellen die bei
> > 1/Wurzelkriterium = 3 ergibt.
> > Da habe ich jedoch mein großes Problem. Ich komm nicht
> > wirklich auf eine.
> > Hatte eine "kleine" Idee:
> > [mm]a_n[/mm] = [mm]3^{-n}[/mm]
> > Dann hätte ich [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{3^{-n}}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{3^{-1}}[/mm] = 3
> >
> > Dann berechne ich die x Werte:
> > [mm]x_1[/mm] : [mm]x_0[/mm] + r = -2 + 3 = 1
> > [mm]x_2[/mm] : [mm]x_0[/mm] - r = -2 - 3 = -5
> >
> > einsetzen in die Reihe:
> > für [mm]x_1[/mm] : [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3}{3^n}[/mm]
> > für
> [mm]x_1[/mm]
> > : [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{-3}{3^n}[/mm]
> >
> > Und wenn mich nicht alles täuscht konvergieren diese
> > beiden Reihen.
> >
> > Also denke ich mal das meine Reihe falsch ist.
Die Idee mit [mm] $\frac{1}{3^n}$ [/mm] ist gar nicht übel.
Du kannst eine passende Reihe so hinbasteln, dass du an der einen Intervallgrenze die harmonische Reihe (bzw. eine Variante derselben) (divergent) bekommst und am anderen Ende eben eine alternierende harmonische Reihe (konvergent).
Damit ist es gar nicht so schwierig ...
Probier mal ein bisschen rum ..
Gruß
schachuzipus
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