Potenzreihe aufstellen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Do 01.05.2008 | | Autor: | Surfer |
| Aufgabe | | Geben Sie die Potenzreihen der Cosinus hyperbolicus und der Sinus hyperbolicus Funktion um den Entwicklungspunkt 0 an und bestimmen Sie deren Konverenzradien. |
Also ich muss von cosh(x) := [mm] (e^x [/mm] + e^(-x))/2 und von sinh(x) := [mm] (e^x [/mm] - e^(-x))/2 die Potenzreihe um den Entwicklungspunkt 0 angeben und den Konvergenzradius bestimmen.
Wie komme ich jedoch bei cosh(x) auf die Potenzreihe:
[mm] \summe_{i=0}^{oo} [/mm] (1/(2n)!) * (x^(2n))
Und wie komme ich bei sinh(x) auf die Potenzreihe:
[mm] \summe_{i=0}^{oo} [/mm] (1/(2n+1)!) * (x^(2n+1))
außerdem machen mir die Konvergenzradienbestimmung Probleme, also bitte um Hilfe und eine gut eErklärung!
Wäre super nett! Danke im voraus
lg Surfer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Do 01.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also die Ableitungen von cosh(x) sind doch:
f`(x) = sinh(x)
f``(x) = cosh(x)
f```(x) = sinh(x)
f````(x) = cosh(x)
f`````(x) = sinh(x)
wobei cosh(x) = [mm] (e^x [/mm] + e^(-x))/2
und sinh(x) = [mm] (e^x [/mm] - e^(-x))/2 ist.
das gleiche gilt für die Ableitung von sinh(x) nur natürlich umgekehrt:
f`(x) = cosh(x)
f``(x) = sinh(x)
f```(x) = cosh(x)
f````(x) = sinh(x)
f`````(x) = cosh(x)
Wie setzte ich dies jetzt in die Taylorreihe bzw. wie sehe ich die regelmäßigkeit?
Die Taylorreihe allgemein lautet doch: Tn(x) := f(a) + [mm] f^n [/mm] (a)/n! * (x-a)
Bitte nochmals um Hilfe!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo surfer1
Setze nun jeweils [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ in die Ableitungen ein. Welche Werte erhältst Du?
Damit dann in die Formel der Taylor-Reihe einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Do 01.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok für die Ableitungen erhalte ich dann beim einsetzten von x0 = 0 :
f(0) = 1
f´(0) = 0
f´´(0) = 1
f´´´(0) = 0
f´´´´(0) = 1
daselbe natürlich für sinh(x) in umgekehrter Form, was setzte ich nun für f(a) und was für x in die Taylorformel Tn(x) := f(a) + [mm] f^n [/mm] (a)/n! * (x-a) ?
Vielleicht könnte man mir das für den ersten Wert demonstrieren und vielleicht auch was man dann kürzen kann! Wäre hilfreich...
lg und danke für die Tipps
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Setzen wir also nun mal ein in die Taylor-Formel:
[mm] $$T_a(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}*(x-a)^k$$
[/mm]
In unserem Fall gilt ja $a \ = \ 0$ und somit:
[mm] $$T_0(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}*x^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{f(0)}{0!}*x^0+\bruch{f'(0)}{1!}*x^1+\bruch{f''(0)}{2!}*x^2+\bruch{f'''(0)}{3!}*x^3+\bruch{f^{(4)}(0)}{4!}*x^4+...$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{0!}*x^0+\bruch{0}{1!}*x^1+\bruch{1}{2!}*x^2+\bruch{0}{3!}*x^3+\bruch{1}{4!}*x^4+...$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{0!}*x^0+\bruch{1}{2!}*x^2+\bruch{1}{4!}*x^4+...$$
[/mm]
Da sollte man nun sehen, dass nur die geraden Potenzen verbleiben und man kann abkürzen:
$$... \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(2n)!}*x^{2n}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Do 01.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok die Aufstellung der Potenzreihe ist mir nun für beide Hyperbelfunktionen klar!! Aber die Bestimmung des Konvergenzradien ist mir noch unklar, vorallem, weil ich wieder nicht weiss wie ich es in die Formel einsetze... !!
Danke für deine Hilfe
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Oben habe ich Dir die Formel für den Konvergenzradius schon genannt:
$$ r \ = \ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm] $$
Setze hier nun [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(2n)!}$ [/mm] ein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Do 01.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok dann habe ich dastehen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |1/(2n)! * (2n+1)!/1 | was passiert dann mit den x^2n ? und was ist jetzt zu tun, mich stört irgendwie das Fakultät!
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Wie Du ![[]](/images/popup.gif) hier nochmals nachlesen kannst, brauchst Du nur die Koeffizientenfolge vor dem [mm] $x^{2n}$ [/mm] betrachten.
Um den Ausdruck mit den Fakultäten zu vereinfachen, kannst Du wie folgt die Definition / Eigenschaft der Fakultät verwenden. Es gilt:
$$(2n+1)! \ = \ (2n)!*(2n+1)$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok, das erleichtert es um einiges! dann lässt sich schließlich (2n)! kürzen und es bleibt übrig |2n+1| und daraus lässt sich doch nun der Konvergenzradius mit n= -1/2 bestimmen oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi,
also 1 ist unterer Grenzwert und sonst gehts ins unendliche für n gegen unendlich??
Gruß Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
> also 1 ist unterer Grenzwert
Dieser Wert ist uninteressant (und wäre auch nicht richtig, da 3 die untere Schranke ist).
> und sonst gehts ins unendliche für n gegen unendlich??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau! Damit gilt also: $r \ = \ [mm] \infty$ [/mm] . Die Potenzreihe konvergiert also für alle $x_$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Aso ok, dann versuch ich dies mal für die sinh(x) selber zu machen!! Mal eine andere Frage, der Definitionsbereich von cosh(x) ist ja -oo < x < +oo wie lässt sich denn dieser für den komplexen Zahlenraum ausdrücken?
lg und danke für die schnelle Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Im Komplexen kannst Du als Definitionsbereich schreiben: $z \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IC$ [/mm] .
Oder Du schlüsselst nach Real- und Imaginärteil auf (was aber eher ungewöhnlich ist):
$$D \ = \ [mm] \left\{ \ z \ := \ x+i*y \ | \ x,y \ \in \ \IR \ \right\} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ z \ := \ x+i*y \ | \ -\infty \ < \ x,y \ < \ +\infty \ \right\}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Do 01.05.2008 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Also die eine Methode wäre sicherlich Taylorreihenentwicklung, aber woher weiß man dass die Taylorreihe wirklich gegen [mm] $\sinh$ [/mm] bzw. [mm] $\cosh$ [/mm] konvergiert?
Man könnte doch auch:
[mm] $2\sinh(x)=\exp(x)-\exp(-x)=\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\right)-\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{(-x)^k}{k!}\right)\stackrel{(\star)}{=}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{x^k}{k!}-\frac{(-x)^k}{k!}\right)=2\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
[/mm]
Die Gleichheit [mm] $(\star)$ [/mm] gilt, weil die rechte Seite absolut konvergent ist (denn die Exponentialreihe ist eine absolut konvergente Majorante) nach dem Großen Umordnungssatz.
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hallo,
kannst du kurz erklären wie du von summe [mm] (x^k/k! [/mm] - x^-k/k!) auf den letzten teil gekommen bist?> Hallo,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 03.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> kannst du kurz erklären wie du von summe [mm](x^k/k![/mm] -
> x^-k/k!) auf den letzten teil gekommen bist?
Ja, einfach ne Fallunterscheidung für gerades und ungerades k. Die geraden Potenzen löschen sich gegenseitig aus, und die ungeraden nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok, jetzt häng ich am Konvergenzradius für sinh(x) und zwar komme ich nach |(1/(2n+1)!) * ((3n+2)!)/1 | nicht mehr weiter, wie ist hier zu vereinfachen oder habe ich bereits einen Fehler gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Dein Ausdruck für den Konverganzradius muss lauten:
[mm] $$\bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{(2n+1)!}}{\bruch{1}{[2*(n+1)+1]!}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n+3)!}{(2n+1)!} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Gut, dann kürzt sich doch (2n)! raus und es steht noch da |(2n+3)/(2n+1)| und dies konvergiert gegen 1 so dass r >= 1 ??
Geht eigentlich diese Formel |an /an+1| auch bei der Ermittlung des Konvergenzkreises? Was ist dort der Unterschied zwischen Konvergenzradius und Kreis??
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Du solltest Dich noch mal etwas mit der  Fakultät beschäftigen.
Es gilt: $(2n+3)! \ = \ (2n+1)!*(2n+2)*(2n+3)$
Na, Du wirst doch den Unterschied zwischen Radius und Kreis kennen ... der Radius gibt die Größe eines Kreises an.
Von Konvergenzkreis spricht man i. Allg. bei Potenzreihen in [mm] $\IC$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
dann steht da |((2n+1)(2n+2)(2n+3))/(2n+1)| und es bleibt übrig |(2n+1)*(2n+3)| und das geht gegen +oo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Dein Ergebnis ist richtig. Aber nicht so schludrig aufschreiben ...
$$... \ = \ [mm] \bruch{(2n+3)!}{(2n+1)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n+1)\red{!}*(2n+2)*(2n+3)}{(2n+1)\red{!}} [/mm] \ = \ [mm] (2n+\red{2})*(2n+3) [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ [mm] +\infty$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo,
ja sorry, die 1 die eine 2 sein sollte war natürlich ein Schreibfehler!
Aber für die Berechnung des Konvergenzradius von komplexen Potenzreihen kan ich dann auch diese Formel verwenden?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Ja!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Habe hier mal zum einen die Potenzreihe [mm] \summe_{k=0}^{oo} (5z)^k [/mm]
Wenn ich hier die Formel anwende erhalte ich r = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |((5z)^k) [/mm] / ((5z)^(k+1))| = [mm] |((5z)^k) [/mm] / [mm] (((5z)^k)*(5z))| [/mm] und daraus folgt dann r = 1/(5z) ??
Ebenso bei der Potenzreihe [mm] \summe_{k=0}^{oo} (k^2+k+1)*(z-i)^k
[/mm]
mit dem Quotientenkriteriu gerechnet:
r= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |(((k+1)^2 [/mm] + (k+1) [mm] +1)*(z-i)^{k+1})/((k^2 [/mm] +k [mm] +1)*(z-i)^k [/mm] )| = [mm] |(((k^2 [/mm] + 3k [mm] +3)*(z-i))/(k^2 [/mm] + k +1))| = |z-i| da die beiden andere Terme doch beide gegen [mm] \infty [/mm] und somit weggelassen werden können. Stimmt das soweit?
lg Surfer
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Surfer,
wenn du eine Potenzreihe $\sum{a_k\cdot{}z^k$ hast (allg. $\sum a_k\cdot{}(z-z_0)^k$), dann berechnet sich der Konvergenzradius (oder in \IC der Konvergenzkreis) in Anlehnung an das QK mit dem Eulerkriterium $r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|$
Dann konvergiert die Potenzreihe für $|z|<r$ (allg. für $|z-z_0|<r$) und divergiert für $|z|>r$ (allg. $|z-z_0|>r$)
Das "z" hat also in der Rechnung nix verloren 
Du musst also bei der ersten Potenzreihe $\sum(5z)^k=\sum 5^k\cdot{}z^k$ nur $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{5^k}{5^{k+1}}\right|$ berechnen.
Dazu ist deine Rechnung schon ganz gut... (nur halt ohne z)
Alternativ hast du für die Berchnung des Konvergenzradius von Potenzreihen noch das Kriterium von Cauchy-Hadamard (in Anlehnung an das WK).
Da berechnest du $r=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}}$
Die (b) hast du sehr schluderig aufgeschrieben, mal mit $\lim$, mal ohne.
Benutze doch mal unseren Formeleditor!
Du hast hier wieder die Möglichkeiten Euler oder Cauchy-Hadamard.
Mit Euler ist die Rechnung ähnlcih deiner, es kommt als Konvergenzradius auch 1 heraus.
Die Potenzreihe in (b) konvergiert dann für $|z-i|<1$, also auf welcher Kreisscheibe? - und divergiert außerhalb derselben. also für $|z-i|>1$
Du kannst ja deine Rechnung für (b) nochmal sauber aufschreiben, das hilft ungemein
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Dann habe ich also bei der a) als Ergebnis r=1/5 also mein Konvergenzradius/ -kreis ist r=1/5 für alle [mm] z\not\in0 [/mm] da z(0) = 0 .
Und bei der b) bin ich jetzt so vorgegangen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (k^2+k+1)(z-i)^k
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] r= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |(k^2 [/mm] +k [mm] +1)/((k+1)^2 [/mm] + k+2)| = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |(k^2 [/mm] +k +1) / [mm] (k^2 [/mm] + 3k +3)|
soweit stimmt das? dass ich praktisch [mm] (z-i)^k [/mm] wegfallen lassen kann? Und wie geht es jetzt hier weiter?
Danke für deine Hilfe
lg Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo,
also wenn ich mit [mm] k^2 [/mm] kürze erhalte ich ja [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] |((1 +1/k + [mm] 1/k^2) [/mm] / (1 + 3/k + [mm] 3/k^2)) [/mm] | und da 1/k und [mm] 1/k^2 [/mm] bei k gegen [mm] \infty [/mm] auf Null zugehen wäre dann mein Grenzwert und somit r=1
richtig so?
lg Surfer
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Servus,
> Hallo,
>
> also wenn ich mit [mm]k^2[/mm] kürze erhalte ich ja
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] |((1 +1/k + [mm]1/k^2)[/mm] / (1 + 3/k +
> [mm]3/k^2))[/mm] | und da 1/k und [mm]1/k^2[/mm] bei k gegen [mm]\infty[/mm] auf Null
> zugehen wäre dann mein Grenzwert und somit r=1
>
> richtig so?
Ja, so ist's genau richtig!
Auf welcher Kreisscheibe konvergiert also die Potenzreihe?
> lg Surfer
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
die Konvergiert doch mit dem Radius 1 , bei [mm] |(z-i)^k| [/mm] <1 ?
Wie muss ich denn bei zwei weiteren Beispielen vorgehen:
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] k^(-k) * (z-2 [mm] +\wurzel{3}i)^k
[/mm]
und
d) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} k!(z+1)^k
[/mm]
Ist hier das gleiche Verfahren wie bei den beiden anderen Aufgaben anzuwenden?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> die Konvergiert doch mit dem Radius 1 , bei [mm]|(z-i)^k|[/mm] <1 ? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich hab's doch oben schon ein paar Mal aufgeschrieben.
Die Reihe konvergiert für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $|z-i|<1$, also innerhalb des Kreises um [mm] $z_0=i$ [/mm] mit Radius 1
>
> Wie muss ich denn bei zwei weiteren Beispielen vorgehen:
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] k^(-k) * (z-2 [mm]+\wurzel{3}i)^k[/mm]
>
> und
> d) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} k!(z+1)^k[/mm]
>
> Ist hier das gleiche Verfahren wie bei den beiden anderen
> Aufgaben anzuwenden?
Ja, denke an die Form der allg. Potenzreihe [mm] $\sum a_k\cdot{}(\red{z-z_0})^k$
[/mm]
Schreib' bei (c) sicherheitshalber [mm] $(z-2+\sqrt{3}i)$ [/mm] als [mm] $(z-(\red{2-\sqrt{3i}}))$ [/mm] und bei (d) [mm] $(z+1)^k$ [/mm] als [mm] $(z-(\red{-1}))^k$
[/mm]
>
> lg Surfer
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok hab das jetzt mal soweit gemacht:
c) [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] |(k)^(-k) / ((k+1)^(-k-1))| = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] |(k)^(-k) / ((k+1)^(-k) * (k+1)^(-1)) | = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | (k^(-k)) * [mm] (k+1)^1 [/mm] * [mm] (k+1)^k [/mm] |
und dies geht für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] r = [mm] \infty
[/mm]
konvertiert für alle [mm] z\in\IC [/mm] mit [mm] |z-(2-\wurzel{3i})| [/mm] <1 also innerhalb des Kreises um z0 = [mm] 2-\wurzel{3i} [/mm] mit Radius [mm] \infty
[/mm]
d) [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] |k! / (k+1)!| = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] |k! / (k! (k+1)) | = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | 1/(k+1) |
und dies geht für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] r = 0
konvertiert für alle [mm] z\in\IC [/mm] mit |z-(-1)| <1 also innerhalb des Kreises um z0 = -1 mit Radius 0
Ist dies richtig? muss man etwas beachten wegen [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ?
lg Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Wo genau liegt denn hier mein Fehler oder stimmt schon das ganze Vorgehen so nicht? Wie ist das Wurzelkriterium hier anzuwenden?
c) |(k)^(-k) / ((k+1)^(-k-1))| = |(k)^(-k) / ((k+1)^(-k) * (k+1)^(-1)) | = | (k^(-k)) * * |
und dies geht für r =
konvertiert für alle mit <1 also innerhalb des Kreises um z0 = mit Radius
bei d) kann man ja sagen, dass es nur am Entwicklungspunkt z0 = -1 konvergiert! oder?
lg und danke für Hilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Surfer,
du hast keinen Fehler gemacht, ob du nun das Eulerkriterium oder Kriterium von Cauchy-Hadamard anwendest, ist dir überlassen.
Du hast nur nicht ganz zu Ende gerechnet...
Mit dem Kriterium von Cauchy-Hadamard ist $\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}}=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|k^{-k}\right|}$
$=\limsup\limits_{k\to\infty} k=\infty$
Also bei der Potenzreihe in (c) ist der Konvergenzradius $\infty$
Mit dem Eulerkriterium kannst du so ansetzen wie in deiner Rechnung,
es ist $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{k^{-k}}{(k+1)^{-k-1}}$, so wie du das schon hattest
$=\lim\limits_{k\to\infty}\left[\left(\frac{\frac{k}{k+1}\right)^{-k}\cdot{}(k+1)^1\right]=\lim\limits_{k\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\cdot{}(k+1)\right]=e\cdot{}\infty=\infty$
Bei (d) ist der Konvergenzradius in der Tat =0, die Potenzreihe konvergiert nur für $|z+1|=0$, also für $z=-1$
PS: Würdest du endlich mal den Formeleditor benutzen, würdest du uns und dir viel Arbeit und Stress beim Entziffern ersparen..
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi, also teilweise funktioniert dieses Verfahren zur Berechnung des Konvergenzradius ganz gut! Bin deshalb kräftig am üben und brauche hier bei einem Beispiel, bei dem der Grenzwert gesucht ist ein paar gute Tipps zum Vorgehen bitte:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] (cos(2x) - [mm] cos(x))/(x^2) [/mm]
bitte um Tipps!
lg Surfer
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Hallo Surfer,
mache doch bitte für neue Fragen auch einen neuen thread auf.
Diese Frage hat doch mit der Frage nach dem Konvergenzradius von Potenzreihen nix zu tun
Sonst werden die threads ellenlang und kein Mensch kann die Übersicht behalten...
Also zur Frage
> Hi, also teilweise funktioniert dieses Verfahren zur
> Berechnung des Konvergenzradius ganz gut! Bin deshalb
> kräftig am üben und brauche hier bei einem Beispiel, bei
> dem der Grenzwert gesucht ist ein paar gute Tipps zum
> Vorgehen bitte:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0}[/mm] (cos(2x) - [mm]cos(x))/(x^2)[/mm]
Der Klammerung entnehme ich, dass [mm] $\lim\limits_{\red{x}\to 0}\bruch{\cos(2x)-\cos(x)}{x^2}$ [/mm] gemeint ist...?
Wenn du das so \bruch{\cos(2x)-\cos(x)}{x^2} eintippst, sieht's auch schöner aus
> bitte um Tipps!
Verwende hier 2mal die Regel von de l'Hôpital
> lg Surfer
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Surfer |
also wenn ich die Regel von l`Hospital anwende erhalte ich nach dem ersten mal wenn`s stimmt:
[mm] \bruch{\-3sin(x)*cos(x)}{2x} [/mm] stimmt das? und wie geht es nun weiter, wie wende ich hier die Regel zum zweiten mal an?
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Hi nochmal,
wie kommst du auf diesen Zähler?
Wenn ich den ursprünglichen Zähler [mm] $\cos(2x)-\cos(x)$ [/mm] ableite komme ich auf [mm] $-2\sin(2x)+\sin(x)$
[/mm]
Also ergibt sich nach der ersten Anwendung von de l'Hôpital:
[mm] $\frac{\sin(x)-2\sin(2x)}{2x}$
[/mm]
Das strebt nun für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Also nochmal ran mit de l'Hôpital.
Zähler und Nenner getrennt ableiten...
[mm] $\frac{\left[\sin(x)-2\sin(2x)\right]'}{\left[2x\right]'}=\frac{\cos(x)-4\cos(x)}{2}=\frac{-3\cos(x)}{2}$
[/mm]
Und das strebt nun für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen...?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Surfer |
gegen -3/2 oder?
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Hallo,
> gegen -3/2 oder? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
sicher dat...
LG
schachuzipus
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
