Potenzreihe Winkelfunktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:26 Mo 12.02.2007 | | Autor: | jude |
| Aufgabe | Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt:
cos x = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{x^2}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{x^4}{4!} [/mm] - + ...
sin x = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] = x - [mm] \bruch{x^3}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^5}{5!} [/mm] - + ... |
Durch Ableitung der Potenzreihe für Cosinus sollte ich auf die Potenzreihe für Sinus kommen. Nur wie geht das?
Und wie leitet man mit Fakultät ab?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo jude und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt:
>
> [mm] $\cos [/mm] x = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k}}{(2k)!}$
[/mm]
> = 1 - [mm]\bruch{x^2}{2!}[/mm] + [mm]\bruch{x^4}{4!}[/mm] - + ...
>
> [mm] $\sin [/mm] x = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] $
> = x - [mm]\bruch{x^3}{3!}[/mm] + [mm]\bruch{x^5}{5!}[/mm] - + ...
> Durch Ableitung der Potenzreihe für Cosinus sollte ich auf
> die Potenzreihe für Sinus kommen. Nur wie geht das?
> Und wie leitet man mit Fakultät ab?
Gar nicht! Die Fakultäten stehen doch nur als Konstanten von den Potenzen von x: also einfach stehen lassen!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mo 12.02.2007 | | Autor: | jude |
| Aufgabe | $ [mm] \cos [/mm] x = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm] $
> = 1 - $ [mm] \bruch{x^2}{2!} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{x^4}{4!} [/mm] $ - + ...
>
> $ [mm] \sin [/mm] x = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] $
> = x - $ [mm] \bruch{x^3}{3!} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{x^5}{5!} [/mm] $ - + ... |
Trotzdem versteh ich nicht ganz, wie man auf die Potenzreihe für sinus kommt! Könnte mir da jemand beim schrittweise Verstehen helfen?
Danke im Voraus!
MfG, jude
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf keiner anderen Website gestellt.
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Hallo jude,
> [mm]\cos x = \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
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> > = 1 - [mm]\bruch{x^2}{2!}[/mm] + [mm]\bruch{x^4}{4!}[/mm] - + ...
> >
> > [mm]\sin x = \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
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> > = x - [mm]\bruch{x^3}{3!}[/mm] + [mm]\bruch{x^5}{5!}[/mm] - + ...
> Trotzdem versteh ich nicht ganz, wie man auf die
> Potenzreihe für sinus kommt! Könnte mir da jemand beim
> schrittweise Verstehen helfen?
> Danke im Voraus!
schreib's doch mal hin:
[mm](\cos x)' = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k*(2k)}{(2k)!}*x^{2k-1}[/mm]
jetzt kannst du jeden Summanden mit 2k kürzen...
[mm] $=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(2k-1)!}*x^{2k-1}$
[/mm]
Vielleicht schreibst du auch mal die ersten drei Summanden einzeln auf, dann erkennst du die Rechnung leichter.
Den Index musst du noch anpassen, weil der Term für k=0 nicht mehr definiert ist.
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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