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| Aufgabe | Gegeben sei die Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(3n+2)z^{n}
[/mm]
a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius!
b) Welche Funktion wird durch die Potenzreihe dargestellt? |
zu a)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(3n+2)z^{n}
[/mm]
Sei [mm] a_{n} [/mm] := 3n+2
Konvergenzradius also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
Also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3(n+1)+2}{3n+2}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n+5}{3n+2}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n(3+\bruch{5}{n}}{n(3+\bruch{2}{n}}
[/mm]
Da [mm] \bruch{5}{n} [/mm] und [mm] \bruch{2}{n} [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 geht =>
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n(3+\bruch{5}{n}}{n(3+\bruch{2}{n}}
[/mm]
[mm] \to \bruch{3}{3} [/mm] = 1
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b) ich hab nicht mal den Hauch einer Ahnung...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei die Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(3n+2)z^{n}[/mm]
> a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius!
> b) Welche Funktion wird durch die Potenzreihe
> dargestellt?
> zu a)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(3n+2)z^{n}[/mm]
>
> Sei [mm]a_{n}[/mm] := 3n+2
>
> Konvergenzradius also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm]
>
> Also:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3(n+1)+2}{3n+2}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n+5}{3n+2}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n(3+\bruch{5}{n}}{n(3+\bruch{2}{n}}[/mm]
>
> Da [mm]\bruch{5}{n}[/mm] und [mm]\bruch{2}{n}[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] gegen 0
> geht =>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n(3+\bruch{5}{n}}{n(3+\bruch{2}{n}}[/mm]
>
> [mm]\to \bruch{3}{3}[/mm] = 1
>
die selben Einwände wie in dem anderen Thread (vermutlich hast Du die Antwort noch nicht gesehen).
Erstens:
Wenn Du so rechnest, musst Du schlussendlich den Kehrwert nehmen.
Das kannst Du vermeiden, wenn Du sofort mit [mm] $\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ [/mm] anfängst...
Zweitens eine Sache der Notation:
[mm] $\lim_{n \to \infty}=...$, [/mm] nicht [mm] $\lim_{n \to \infty}... \to [/mm] ...$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Also entweder komplett eine Gleichung
[mm] $r^{-1}=\lim_{k \to \infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=1$ [/mm] schreiben (was [mm] $r=\frac{1}{1}=1$ [/mm] zur Folge hat), oder aber
[mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \to r^{-1}$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$ [/mm]
>
>
> b) ich hab nicht mal den Hauch einer Ahnung...
>
Dann folgendes:
Begründe, dass die Reihen [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}(3n+2)z^{n}$, $\summe_{n=1}^{\infty}3n z^{n}$ [/mm] und [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}2z^{n}$ [/mm] alle den Konvergenzradius $r=1$ haben. (Eigentlich bräuchtest Du nur, dass die letzten beiden diesen haben, aber warum sollte man das Ergebnis aus a) nicht erwähnen?  )
Weiterhin beachte:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty q^{k}=\frac{1}{1-q}$ [/mm] für $|q|<1$, also:
[mm] $(\*)$ $\sum_{k=1}^\infty q^k=q*\sum_{\blue{k=0}}^\infty q^k=\frac{q}{1-q}$ [/mm] für $|q|<1$.
Zudem gilt für $|z|<1$:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}3n z^{n}=3*\sum_{n=1}^\infty n*z^n=3*\sum_{n=1}^\infty n*z^n=3*z*\sum_{n=1}^\infty n*z^{n-1}=3z*\sum_{\blue{n=0}}^\infty (n+1)z^n=3z*\sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dz} z^{n+1}$
[/mm]
Warum darf man nun bei [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dz} z^{n+1}$ [/mm] Summation und Differentiation vertauschen (suche nach einem passenden Satz für Potenzreihen), also:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dz} z^{n+1}=\frac{d}{dz}\sum_{n=0}^\infty z^{n+1}=\frac{d}{dz}\sum_{n=1}^\infty z^n$
[/mm]
ausnutzen (wobei die letzte Reihe nach obiger Rechnung [mm] $(\*)$ $\frac{z}{1-z}$ [/mm] ist, und die Funktion $z [mm] \mapsto \frac{z}{1-z}$ [/mm] kannst Du sicherlich ableiten).
Insgesamt kannst Du danach für $|z|<1$ ausnutzen:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}(3n+2)z^{n}=\left(3*\sum_{n=1}^\infty n*z^n\right)+2*\sum_{n=1}^\infty z^n$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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