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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Mi 28.09.2005 | | Autor: | mx2002 |
Für welche [mm] x \in \IR [/mm] konvergiert die Potenzreihe
[mm]
\summe_{n=1}^{\infty} ( 1 + \bruch{1}{2} + ... + \bruch{1}{n}) x^{n}
[/mm]
Meine Antwort wäre, für |x| < 1 ist das korrekt?
Begründung: Eine Reihe konvergiert nur, wenn die zugehörige Folge gegen Null geht.
Gruß,
mx2002
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mi 28.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Meine Antwort wäre, für |x| < 1 ist das korrekt?
Scheint mir richtig zu sein.
> Begründung: Eine Reihe konvergiert nur, wenn die zugehörige
> Folge gegen Null geht.
Das ist zwar richtig - aber das ist nur notwendig, nicht hinreichend. Du musst das besser begründen, zB mit dem Quotientenkriterium
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Mi 28.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Das heißt, für [mm]|x|\ge[/mm] 1 konvergiert die Reihe auf keinen
> Fall. Aber ob sie für |x|<1 wirklich konvergiert, ist noch
> nicht sicher. 
Noch nicht beweisen -, aber ich hoffe, das es sicher ist (wenn ich mich nicht verrechnet habe) das kann man ja mit den Rechenregeln für Potenzreihen zeigen (und sollte der OP auch tun, da lernt man dann am meisten). Für [m]x\in \{-1,1\}[/m] muss man das getrennt jeweils beweisen, dass es nicht konvergiert.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mi 28.09.2005 | | Autor: | mx2002 |
Hallo,
tut mir leid, aber ich muss noch mal kurz etwas Nachfragen.
Es geht immer noch um:
[mm]
\summe_{n=1}^{\infty}(1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n})x^{n}
[/mm]
Ich habe jetzt mal zuerst den Konvergenzradius bestimmt:
[mm]
\limes_{n\rightarrow\infty} | \bruch{1 + \bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}}{1 + \bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}}| = 1
[/mm]
Und jetzt gilt doch:
[mm]
|x-x_{0}| < r = 1
[/mm]
D.h. für x < 1 ist die Folge konvergent. Und für x = 1 gilt dies jedoch nicht, da die Folge aus der die Reihe entstanden ist dann keine Nullfolge mehr ist:
[mm]
\summe_{i=1}^{n}(1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{i})
[/mm]
Die Folge konvergiert zwar wie man durch das Quotientenkriterium sieht, aber nicht gegen 0:
[mm]
|\bruch{1 + \bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}}{1 + \bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}}| < C = const
[/mm]
Kann man das so beweisen oder bin ich jetzt falsch?
Danke,
mx2002
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Es geht immer noch um:
>
> [mm]
\summe_{n=1}^{\infty}(1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n})x^{n}
[/mm]
>
> Ich habe jetzt mal zuerst den Konvergenzradius bestimmt:
>
> [mm]
\limes_{n\rightarrow\infty} | \bruch{1 + \bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}}{1 + \bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}}| = 1
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Der Konvergenzradius ist also $1$, d.h. die Reihe konvergiert für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x|<1$.
> Und für x = 1 gilt dies jedoch nicht, da die
> Folge aus der die Reihe entstanden ist dann keine Nullfolge
> mehr ist:
> [mm]
\summe_{i=1}^{n}(1+\bruch{1}{2}+...+\bruch{1}{i})
[/mm]
Das ist richtig. Für $x=1$ (und übrigens auch für $x=-1$) konvergiert die Reihe nicht.
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Mi 28.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Die Folge konvergiert zwar wie man durch das
> Quotientenkriterium sieht, aber nicht gegen 0:
Das ist falsch - diese folge divergeirt. Das Quotientenkriterium kannst du so nicht anwenden! Aber noch eine Bitte: zeige doch, das für -1 die Reihe auch nicht konvergeirt!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 28.09.2005 | | Autor: | mx2002 |
Vielen Dank an alle die mir mit diesem Problem geholfen haben.
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![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
