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Potenzreihe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 Mi 21.11.2012
Autor: King-LA-Gold

Aufgabe
Entwickeln sie folgende Funktion in eine Potenzreihe um 0 und geben sie ihren Konvergenzradius an.
[mm] \bruch{-2x^2+6x-7}{(x-2)^2(x-1)} [/mm]

Also mein Ansatz wäre die Partialbruchzerlegung:

[mm] \bruch{-2x^2+6x-7}{(x-2)^2(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-2} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x-2)^2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x-1)} [/mm]
[mm] \gdw -2x^2+6x-7 [/mm] = [mm] A(x-2)(x-1)+B(x-1)+C(x-2)^2 \Rightarrow [/mm] A=8, B= -3, C=-3
[mm] \Rightarrow \bruch{8}{x-2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{(x-2)^2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{(x-1)} [/mm]

Stimmt das soweit und wie mach ich weiter?

        
Bezug
Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mi 21.11.2012
Autor: Leopold_Gast

Wenn du aus der 8 eine 1 machst, stimmt die Partialbruchzerlegung.

Bezug
                
Bezug
Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Mi 21.11.2012
Autor: King-LA-Gold

[mm] \Rightarrow \bruch{1}{x-2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{(x-2)^2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n [/mm] - [mm] \bruch{3}{(x-2)^2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{x-1} [/mm]
Stimmt die erste Reihe? Die beiden anderen verwirren mich leider...

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Mi 21.11.2012
Autor: schachuzipus

Hallo King-LA-Gold,


>  [mm]\Rightarrow \bruch{1}{x-2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{(x-2)^2}[/mm] -  [mm]\bruch{3}{x-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n[/mm] - [mm]\bruch{3}{(x-2)^2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{x-1}[/mm]
>  Stimmt die erste Reihe?

Das sollte doch [mm]-\frac{1}{2}[/mm] als Vorfaktor sein ..

[mm]\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}[/mm]

> Die beiden anderen verwirren mich
> leider...

Den letzten Term kannst du doch wieder als eine geometrische Reihe schreiben ...

Beim mittleren überlege mal, was für [mm]|q|<1[/mm] die Ableitung [mm]\frac{\partial}{\partial q}\left[ \ \sum\limits_{n\ge 0}q^n \ \right][/mm] ist ...

Gruß

schachuzipus




Bezug
                                
Bezug
Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Do 22.11.2012
Autor: King-LA-Gold

Stimmt folgendes:

- [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n [/mm] +  [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (x-1)^n*(-3)*(1+n) [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 3*x^n [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Do 22.11.2012
Autor: MathePower

Hallo King-LA-Gold,

> Stimmt folgendes:
>  
> - [mm]\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{x}{2})^n[/mm] +  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (x-1)^n*(-3)*(1+n)[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 3*x^n[/mm]  


Der mittlere Summand stimmt leider nicht.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Mi 21.11.2012
Autor: fred97


> Entwickeln sie folgende Funktion in eine Potenzreihe um 0
> und geben sie ihren Konvergenzradius an.
>  [mm]\bruch{-2x^2+6x-7}{(x-2)^2(x-1)}[/mm]
>  Also mein Ansatz wäre die Partialbruchzerlegung:
>  
> [mm]\bruch{-2x^2+6x-7}{(x-2)^2(x-1)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x-2}[/mm] +
> [mm]\bruch{B}{(x-2)^2}[/mm] + [mm]\bruch{C}{(x-1)}[/mm]
>  [mm]\gdw -2x^2+6x-7[/mm] = [mm]A(x-2)(x-1)+B(x-1)+C(x-2)^2 \Rightarrow[/mm]
> A=8, B= -3, C=-3
>  [mm]\Rightarrow \bruch{8}{x-2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{(x-2)^2}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{(x-1)}[/mm]
>  
> Stimmt das soweit

Dazu hat Leopold schon was gesagt.

> und wie mach ich weiter?

Tipp: geometrische Reihe

FRED


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