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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Do 12.07.2012 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Hallo meine erste (und vermutlich nicht letzte) Frage:
Ich soll zeigen, dass auf dem gesamten Konvergenzbereich von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 3n(3x-2)^{n-1} [/mm] gilt [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 3n(3x-2)^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+1}{3} x^n [/mm] |
Der Konvergenzbereich ist ja [mm] (\bruch{1}{3} [/mm] , 1), aber wie gehe ich jetzt vor, um die Gleichheit zu beweisen?
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Do 12.07.2012 | | Autor: | hippias |
Ist Dir aufgefallen, dass Deine Reihe Ableitung einer Reiche ganz einfachen Typs ist? Wenn man diese etwas manipuliert kommt man vielleicht auf das Ergebnis. Sonst koennte man die Klammer ausmultiplizieren, neuordnen und das Beste hoffen...
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Hallo,
als Ergänzung zu hippias' Mitteilung und etwas ausführlicher:
> Hallo meine erste (und vermutlich nicht letzte) Frage:
>
> Ich soll zeigen, dass auf dem gesamten Konvergenzbereich
> von [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 3n(3x-2)^{n-1}[/mm] gilt
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 3n(3x-2)^{n-1}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+1}{3} x^n[/mm]
> Der
> Konvergenzbereich ist ja [mm](\bruch{1}{3}[/mm] , 1), ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber wie gehe
> ich jetzt vor, um die Gleichheit zu beweisen?
Setze [mm]f(x):=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(3x-2)^n[/mm]
Dann ist im Konvergenzintervall [mm]f(x)=\frac{1}{1-(3x-2)}=\frac{1}{3}\cdot{}\frac{1}{1-x}[/mm] (geometr. Reihe)
Letzteres kannst du in [mm](-1,1)[/mm], also insbesondere in "deinem" Konvergenzintervall schreiben als [mm]\frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n[/mm]
Nun leite beide Seiten ab ...
> Danke im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Do 12.07.2012 | | Autor: | Trikolon |
Könntest du bitte kurz erklären, weshalb man f(x) so definieren darf: $ [mm] f(x):=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(3x-2)^n [/mm] $
und wie man dann hierauf kommt, ist mir ebenfalls nicht ganz klar...
[mm] f(x)=\frac{1}{1-(3x-2)}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Könntest du bitte kurz erklären, weshalb man f(x) so
> definieren darf: [mm]f(x):=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(3x-2)^n[/mm]
Warum nicht? Im Intervall [mm](1/3,1)[/mm] stellt [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(3x-2)^n[/mm] eine Funktion dar, die kann ich doch [mm]f[/mm] nennen.
Wenn man sich die gegebene Reihe ansieht, so ist das genau die Ableitung der obigen Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(3x-2)^n[/mm]
Darum das Spiel ...
>
> und wie man dann hierauf kommt, ist mir ebenfalls nicht
> ganz klar...
>
> [mm]f(x)=\frac{1}{1-(3x-2)}[/mm]
Na, wie lautet die Formel für die geometrische Reihe?
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm]
Hier mit [mm]q=3x-2[/mm], was genau im Konvergenzintervall betraglich [mm]<1[/mm] ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 12.07.2012 | | Autor: | Trikolon |
Ok, danke, das habe ich jetzt verstanden!
f abgeleitet wäre ja dann [mm] \bruch{1}{3*(1-x)^2}
[/mm]
Ich sehe die Gleichheit aber immernoch nicht so ganz...
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Hossa!
> Ok, danke, das habe ich jetzt verstanden!
>
> f abgeleitet wäre ja dann [mm]\bruch{1}{3*(1-x)^2}[/mm]
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> Ich sehe die Gleichheit aber immernoch nicht so ganz...
Du sollst ja auch die beiden Reihen ableiten ...
Also beide Seiten der Gleichung [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(3x-2)^n \ = \ \frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Do 12.07.2012 | | Autor: | Trikolon |
Also so?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 3n(3x-2)^{n-1} [/mm] = 1/3 [mm] \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Also so?
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 3n(3x-2)^{n-1}[/mm] = 1/3 [mm]\summe_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}[/mm]
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Jo, das ist es doch fast, die letzte klitzekleine Umformung auf der rechten Seite kriegst du doch sicher hin ...
Immer das Ziel im Auge behalten!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Do 12.07.2012 | | Autor: | Trikolon |
Und 1/3 $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} [/mm] $ ist dann gleich 1/3 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n
[/mm]
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> Und 1/3 [mm]\summe_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}[/mm] ist dann gleich 1/3
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n[/mm]
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