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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Fr 27.01.2012 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Ich habe eine Frage bezgl. eines PDF's das ich lese. Wenn es jemand interessiert, es geht um foglendes ![[]](/images/popup.gif) PDF
Kurz es geht um folgendes (Seite 3. im PDF): Wenn ich eine Zufallsvariabel $Y$ habe, die Werte in $ [mm] \IN [/mm] $ annimmt, also $ [mm] Y(\omega)\in \{0,1,2,\dots\}$ [/mm] dann kann ich die erzeugende Funktion definieren:
[mm] $$G_Y [/mm] :[0,1] [mm] \to \IR$$ [/mm] mit
$$ [mm] G_Y(t) [/mm] = [mm] \sum_{i\ge 0} P[Y=i]t^i$$
[/mm]
Das kann ich ja als Potenzreihe betrachten, also würde mich der Konvergenzradius $R$ interessieren. Dann wird gesagt, dass diese Reihe sicherlich einen Konvergenzradius [mm]R\ge 1[/mm] hat. Wieso gilt dies? Wie kommt man auf dieses Resultat. Wenn ich nicht explizit weiss, wie $Y$ verteilt ist.
Dankeschööön
greetz
hula
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Hiho,
offensichtlich gilt $P[Y=i] [mm] \le [/mm] 1$, da P ein W-Maß ist. Damit folgt: $ [mm] G_Y(t) [/mm] = [mm] \sum_{i\ge 0} P[Y=i]t^i \le \sum_{i\ge 0} t^i$ [/mm] und die Reihe hat den Konvergenzradius 1.
Für $t=1$ gilt:
$ [mm] G_Y(1) [/mm] = [mm] \sum_{i\ge 0} [/mm] P[Y=i] = 1$, da P ein W-Maß auf [mm] \IN [/mm] ist, also konvergiert die Reihe.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Fr 27.01.2012 | | Autor: | hula |
hallo gonozal_IX
Danke für deine Antwort. Eine kleine Anschlussfrage. Nach deiner Antwort weiss ich doch zwei Dinge:
1. meine Reihe hat einen Konvergenzradius $ [mm] \le [/mm] 1$, da du sie ja durch $ [mm] \sum t^i [/mm] $ abgeschätzt hast.
2. Für $ t= 1$ konvergiert die Reihe. Also hat sie doch einen Konvergenzradius von $ R=1$?
Wieso steht im PDF einen Konvergenzradius $ [mm] R\ge [/mm] 1$ ?
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Hiho,
> 1. meine Reihe hat einen Konvergenzradius [mm]\le 1[/mm], da du sie
> ja durch [mm]\sum t^i[/mm] abgeschätzt hast.
> 2. Für [mm]t= 1[/mm] konvergiert die Reihe. Also hat sie doch einen
> Konvergenzradius von [mm]R=1[/mm]?
jein. Wir haben damit gezeigt, dass sie MINDESTENS einen Konvergenzradius von 1 hat. Wir haben sie ja nach oben abgeschätzt und die grössere Reihe hat einen Konvergenzradius von 1.
Je nachdem, wie Y verteilt ist, kann der Konvergenzradius natürlich auch grösser sein, bspw für
$P[Y = i] = [mm] 2^{-i}, i\ge [/mm] 1$
lässt sich der Konvergenzradius genau bestimmen und ist eben 2.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Fr 27.01.2012 | | Autor: | hula |
Danke für deine Hilfe!
Aber was ich nicht verstehe, wieso gilt: Wenn ich die Summe nach oben abschätze, dann hat sie einen grösseren Konvergenzradius als die Summe, mit der wir abgeschätzt haben? als:
$$ [mm] \sum [/mm] X [mm] \le \sum [/mm] Y$$
wobei das zwei Potenzreihen wären die ich $X$ und $Y$ nenne. Wenn ich den Konvergenzradius [mm] $R_Y$ [/mm] der Potenzreihe $Y$ kenne, wieso gilt
[mm] $$R_X \ge R_Y$$ [/mm] ?
gruss
hula
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Hiho,
logisch ist das allemal.
Beweisen kannst du es einfach per Widerspruch:
Nimm an es gelte [mm] $R_X [/mm] < [mm] R_Y$, [/mm] dann existiert ein t, so dass [mm] $R_X [/mm] < t < [mm] R_Y$
[/mm]
Dann würde gelten:
[mm] $\summe [/mm] X(t) = [mm] \infty$, [/mm] aber $ [mm] \summe [/mm] Y(t) < [mm] \infty$ [/mm] und damit insbesondere nicht mehr [mm] $\summe [/mm] X(t) [mm] \le \summe [/mm] Y(t)$
MFG,
Gono.
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