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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 So 22.05.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\vektor{2n \\ n}*(x+1)^{2n} [/mm] |
Guten Abend!
Ich verstehe anhang des Skripts nicht ganz wie ich vorgehen soll...
Was ich bisher verstanden habe ist, dass ich die Konvergenz der selben Reihe, aber ohne x, also nur von [mm] a_n [/mm] untersuchen soll.
Das Problem hier: Ich weiss nicht was [mm] a_n [/mm] ist und wie ich dann auf den Konvergenzradius komme wenn ich bewiesen habe, dass die Reihe für [mm] a_n [/mm] konvergiert:
Als Hinweis steht bei der Aufgabe: Setzen sie [mm] t=(1+x)^2 [/mm]
Ich habe schon versucht [mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] umzuformen:
[mm] \bruch{2n!}{(2n-n)!*n!}=\bruch{2n!}{n^{2}!}=\bruch{2}{n!}
[/mm]
Ist diese Umformung wenigstens richtig?
Vielen dank im Voraus,
Ilya
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Moin,
> Bestimmen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\vektor{2n \\ n}*(x+1)^{2n}[/mm]
> Guten
> Abend!
>
> Ich verstehe anhang des Skripts nicht ganz wie ich vorgehen
> soll...
>
> Was ich bisher verstanden habe ist, dass ich die Konvergenz
> der selben Reihe, aber ohne x, also nur von [mm]a_n[/mm] untersuchen
> soll.
>
> Das Problem hier: Ich weiss nicht was [mm]a_n[/mm] ist und wie ich
> dann auf den Konvergenzradius r komme wenn ich bewiesen habe,
> dass die Reihe für [mm]a_n[/mm] konvergiert:
>
> Als Hinweis steht bei der Aufgabe: Setzen sie [mm]t=(1+x)^2[/mm]
Dann ist die Reihe also
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\vektor{2n \\ n}*(x+1)^{2n}=\summe_{n=1}^{\infty}\vektor{2n \\ n}*t^{n}
[/mm]
und [mm] a_n=\vektor{2n\\n}
[/mm]
Bestimme zuerst den Konvergenzradius von dieser Reihe. Dazu kannst du z.B. [mm] \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| [/mm] berechnen.
Danach kannst du rücksubstituieren.
>
> Ich habe schon versucht [mm]\vektor{2n \\ n}[/mm] umzuformen:
>
> [mm]\bruch{2n!}{(2n-n)!*n!}=\bruch{2n!}{n^{2}!}=\bruch{2}{n!}[/mm]![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Ist diese Umformung wenigstens richtig?
Du hast keine Klammern gesetzt und dich entsprechend verrechnet.
[mm] \vektor{2n\\n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}
[/mm]
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> Vielen dank im Voraus,
>
> Ilya
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 So 22.05.2011 | | Autor: | Random |
Mist... Vielen Dank...
Also ich habe folgende Rechnung:
[mm] \bruch{(2n+2)!*(n!)^2 *t^{n+1}}{((n+1)!)^2*(2n)!*t^n}=\bruch{(2n+1)(2n+2)*t}{(n+1)^2}=\bruch{2*(2n+1)*t}{n+1}=\bruch{(4n+2)*t}{n+1}
[/mm]
Wie gehe ich jetzt vor xD
Ilya
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> Mist... Vielen Dank...
>
> Also ich habe folgende Rechnung:
>
> [mm]\bruch{(2n+2)!*(n!)^2 *t^{n+1}}{((n+1)!)^2*(2n)!*t^n}=\bruch{(2n+1)(2n+2)*t}{(n+1)^2}=\bruch{2*(2n+1)*t}{n+1}=\bruch{(4n+2)*t}{n+1}[/mm]
Man kann natürlich wie du auch direkt das Quotientenkriterium auf die gesamte Reihe anwenden.
Was siehst du nun? für welche t ist der Betrag des Grenzwerts <1, also die Reihe auf jeden Fall konvergent?
>
> Wie gehe ich jetzt vor xD
>
> Ilya
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 So 22.05.2011 | | Autor: | Random |
Hmmm also ich hab jetzt folgendes gemacht:
[mm] \bruch{4nt+2t}{n+1} [/mm] habe ich durch n geteilt:
[mm] \bruch{4t+2t/n}{1+1/n}
[/mm]
Da wir [mm] n->\infty [/mm] betrachten entfällt 2t/n und 1/n da es gegen 0 geht...
also bleibt nur 4t übrig und es muss [mm] t<\bruch{1}{4} [/mm]
Hoffe die Überlegung ist richtig xD
Ilya
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> Hmmm also ich hab jetzt folgendes gemacht:
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> [mm]\bruch{4nt+2t}{n+1}[/mm] habe ich durch n geteilt:
>
> [mm]\bruch{4t+2t/n}{1+1/n}[/mm]
>
> Da wir [mm]n->\infty[/mm] betrachten entfällt 2t/n und 1/n da es
> gegen 0 geht...
> also bleibt nur 4t übrig und es muss [mm]t<\bruch{1}{4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und nun mache noch die Rücksubstitution (zur Erinnerung [mm] t=(x+1)^2).
[/mm]
Achtung: [mm] |t|<\frac{1}{4}.
[/mm]
Beim Quotientenkriterium mit Beträgen arbeiten.
>
> Hoffe die Überlegung ist richtig xD
>
> Ilya
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 So 22.05.2011 | | Autor: | Random |
Jap, also:
[mm] (x+1)^2<1/4 [/mm]
jetzt muss ich das x bestimmen für welches die Gleichung erfüllt ist.
[mm] x^2+2x<-3/4
[/mm]
Irgendwie steh ich hier aufm Schlauch =/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 So 22.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Erinnert fast an eine pq-Formel finde ich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 So 22.05.2011 | | Autor: | Random |
Wie traurig...
Naja [mm] x_1=-\bruch{1}{2} x_2=-\bruch{3}{2}
[/mm]
Kann ich jetzt sagen dass für alle x < -1/2 die Reihe konvergiert?
Ilya
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> Naja [mm]x_1=-\bruch{1}{2} x_2=-\bruch{3}{2}[/mm]
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> Kann ich jetzt sagen dass für alle x < -1/2 die Reihe konvergiert?
Nein. Das wäre auch sicher nicht die Antwort auf die Frage nach dem Konvergenzradius.
Es ist [mm] |t|=(x+1)^2, [/mm] d.h [mm] |x+1|=\sqrt{|t|}, [/mm] also [mm] |x+1|<\sqrt{1/4}=1/2
[/mm]
>
> Ilya
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Random |
Okay vielen Dank ich verstehe das jetzt =)
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