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Hey,hab gerad in nem Buch was zu ARMA Prozessen gelesen. In einem Beweis wird folgendes angeführt:
Es istn [mm] \Phi(z) [/mm] ein Polynom vom Grad p, welches wie folgt definiert ist:
[mm] \Phi(z)=1-\Phi_{1}*z-...-\Phi_{p}z^{p}
[/mm]
Zudem gilt: [mm] \Phi(z)\not= [/mm] 0 für [mm] |z|\le [/mm] 1
Hieraus wird geschlussfolgert, dass ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert, sodass [mm] \bruch{1}{\Phi(z)} [/mm] als Potenzreihenentwicklung dargestellt werden kann:
[mm] \bruch{1}{\Phi(z)}=\summe_{i=0}^{\infty}\lambda_{i}z^{i} [/mm] für [mm] |z|<1+\varepsilon
[/mm]
Abschließend wird geschlussfolgert, dass [mm] \lambda_{i}(1+\bruch{\varepsilon}{2})^{i}\to [/mm] 0 wenn [mm] i\to\infty. [/mm] Also existiert ein [mm] K\in]0,\infty[, [/mm] für dass gilt:
[mm] |\lambda_{i}|
Zudem hat man [mm] \summe_{i=0}^{\infty}|\lambda_{i}|<\infty.
[/mm]
Meine Frage ist nun, wie man darauf schließt, dass gilt:
[mm] \lambda_{i}(1+\bruch{\varepsilon}{2})^{i}\to [/mm] 0 wenn [mm] i\to\infty
[/mm]
Ich sehe leider noch keine Begründung, warum dies der Fall ist.
Mfg
piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Fr 18.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Reihe
[mm] $\summe_{i=0}^{\infty}\lambda_{i}z^{i} [/mm] $ konvergiert für $ [mm] |z|<1+\varepsilon [/mm] $.
Damit konvergiert sie in $z= [mm] 1+\bruch{\varepsilon}{2}$
[/mm]
Die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\lambda_{i}(1+\bruch{\varepsilon}{2})^i [/mm] ist also konvergent.
Was treiben die Reihenglieder dann für i [mm] \to \infty [/mm] ??
FRED
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> Die Reihe
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> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}\lambda_{i}z^{i}[/mm] konvergiert für
> [mm]|z|<1+\varepsilon [/mm].
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> Damit konvergiert sie in [mm]z= 1+\bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
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> Die Reihe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}\lambda_{i}(1+\bruch{\varepsilon}{2})^i[/mm]
> ist also konvergent.
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> Was treiben die Reihenglieder dann für i [mm]\to \infty[/mm] ??
>
... dann gehen die Reihenglieder gegen 0, danke
> FRED
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