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Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:05 Mo 17.01.2011
Autor: spoechelist123

Aufgabe
Ordnen Sie die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^{n} [/mm] nach Potenzen von (z - [mm] \bruch{i}{2}) [/mm] um! Welchen
Konvergenzradius hat die entstehende Potenzreihe?

Hallo =)
ich versteh bei der Aufgabe nicht ganz, wie ich nach Potenzen von (z - [mm] \bruch{i}{2}) [/mm] umordnen soll. Das mit dem Konvergenzradius ist mir zwar klar, aber um den Konvergenzradius heraus zu finden muss die potenzreihe ja erst gebildet werden.
Über Hilfe würde ich mich sher freuen :)
liebe Grüße ...
        
Bezug
Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:06 Mo 17.01.2011
Autor: Marcel

Hallo,

> Ordnen Sie die Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} z^{n}[/mm] nach
> Potenzen von (z - [mm]\bruch{i}{2})[/mm] um! Welchen
>  Konvergenzradius hat die entstehende Potenzreihe?
>  Hallo =)
>  ich versteh bei der Aufgabe nicht ganz, wie ich nach
> Potenzen von (z - [mm]\bruch{i}{2})[/mm] umordnen soll. Das mit dem
> Konvergenzradius ist mir zwar klar, aber um den
> Konvergenzradius heraus zu finden muss die potenzreihe ja
> erst gebildet werden.
>  Über Hilfe würde ich mich sher freuen :)
>  liebe Grüße ...

vgl. etwa []hier oder suche im []Heuser: Transformation einer Potenzreihe auf einen neuen Mittelpunkt.

Die Idee ist eigentlich recht einfach:
Schreibe bei Dir z.B. für jedes natürliche [mm] $n\,$ [/mm] inklusive der Null
[mm] $$z^n=\left(z-\frac{i}{2}+\frac{i}{2}\right)^n$$ [/mm]
und verwende die binomische Formel. Später suche bzw. verwende ein Argument, dass die Vertauschung der Summationsreihenfolge rechtfertigt.

Gruß,
Marcel
Bezug
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