Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Do 21.05.2009 | | Autor: | one |
| Aufgabe | Entwicklen Sie [mm] \bruch{1}{z} [/mm] in eine Laurentreihe um 0,
wobei 1< |z| < 2. |
Bei andere Aufgaben dieser Art hatte ich jeweils keine Mühe,
denn da sahen die Funktionen jeweils z.B. so aus:
[mm] \bruch{1}{z+1} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{z-2} [/mm] usw.
Im Nenner war also immer eine Summe.
Für [mm] \bruch{1}{z+1} [/mm] sieht ja dann die Laurantreihe bzw. Potenzreihe so aus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*z^n
[/mm]
Ich habe also immer die Funktion in die geometrische Summenformel umgeformt und daraus die Potenzreihe "abgelesen".
Doch wie kann ich bei [mm] \bruch{1}{z} [/mm] vorgehen?
|
|
| |
|
Hallo one,
> Entwicklen Sie [mm]\bruch{1}{z}[/mm] in eine Laurentreihe um 0,
> wobei 1< |z| < 2.
> Bei andere Aufgaben dieser Art hatte ich jeweils keine
> Mühe,
> denn da sahen die Funktionen jeweils z.B. so aus:
>
> [mm]\bruch{1}{z+1}[/mm] oder [mm]\bruch{1}{z-2}[/mm] usw.
> Im Nenner war also immer eine Summe.
>
> Für [mm]\bruch{1}{z+1}[/mm] sieht ja dann die Laurantreihe bzw.
> Potenzreihe so aus:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*z^n[/mm]
>
> Ich habe also immer die Funktion in die geometrische
> Summenformel umgeformt und daraus die Potenzreihe
> "abgelesen".
> Doch wie kann ich bei [mm]\bruch{1}{z}[/mm] vorgehen?
Zerlege [mm]z=c+\left(z-c\right)[/mm], wobei [mm]c \not= 0[/mm]:
Dann ist
[mm]\bruch{1}{z}=\bruch{1}{c+\left(z-c\right)}=\bruch{1}{c}*\bruch{1}{1+\bruch{z-c}{c}}=\bruch{1}{c}*\bruch{1}{1-\bruch{c-z}{c}}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 21.05.2009 | | Autor: | one |
hallo,
also etwas ist mir noch nicht ganz klar. Wenn ich nun eben wie folgt umgeformt habe:
[mm] \bruch{1}{z}=\bruch{1}{c+\left(z-c\right)}=\bruch{1}{c}*\bruch{1}{1+\bruch{z-c}{c}}=\bruch{1}{c}*\bruch{1}{1-\bruch{c-z}{c}}
[/mm]
lautet die Potenzreihe dann
[mm] \summe_{n=o}^{\infty} \bruch{1}{c}*(\bruch{c-z}{c})^n [/mm] = [mm] \summe_{n=o}^{\infty} \bruch{1}{c}*(\bruch{1}{c})^n*(c-z)^n
[/mm]
Doch dies ist ja dann keine Potenzreihe um 0, oder?
Und diese Umformungen gelten ja nur, falls [mm] \bruch{c-z}{c} [/mm] im Betrag kleiner als 1 ist. Ansonsten ist die geometrische Reihe dann unendlich...?
Und ich kann ja kein c so wählen, dass [mm] \bruch{c-z}{c} [/mm] im Betrag kleiner als 1 ist, da nach Voraussetzung 1 < |z| < 2 gilt.
|
|
|
| |
|
Hallo one,
> hallo,
>
> also etwas ist mir noch nicht ganz klar. Wenn ich nun eben
> wie folgt umgeformt habe:
>
> [mm]\bruch{1}{z}=\bruch{1}{c+\left(z-c\right)}=\bruch{1}{c}*\bruch{1}{1+\bruch{z-c}{c}}=\bruch{1}{c}*\bruch{1}{1-\bruch{c-z}{c}}[/mm]
>
> lautet die Potenzreihe dann
>
> [mm]\summe_{n=o}^{\infty} \bruch{1}{c}*(\bruch{c-z}{c})^n[/mm] =
> [mm]\summe_{n=o}^{\infty} \bruch{1}{c}*(\bruch{1}{c})^n*(c-z)^n[/mm]
>
> Doch dies ist ja dann keine Potenzreihe um 0, oder?
Ja, da hast Du recht.
> Und diese Umformungen gelten ja nur, falls [mm]\bruch{c-z}{c}[/mm]
> im Betrag kleiner als 1 ist. Ansonsten ist die geometrische
> Reihe dann unendlich...?
> Und ich kann ja kein c so wählen, dass [mm]\bruch{c-z}{c}[/mm] im
> Betrag kleiner als 1 ist, da nach Voraussetzung 1 < |z| < 2
> gilt.
Eine Laurentreihe besteht ja aus Haupt- und Nebenteil.
Dann benötigst Du hier auch ebenfalls zwei verschiedene Entwicklungen.
[mm]\bruch{1}{z}=\bruch{1}{\alpha}*\bruch{1}{\bruch{z}{\alpha}}[/mm]
Diese Reihe konvergiert dann für [mm]\vmat{\bruch{z}{\alpha}}[/mm] < 1.
Dies ist die Entwicklung für den Nebenteil.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Do 21.05.2009 | | Autor: | one |
>
> [mm] \bruch{1}{z}=\bruch{1}{\alpha}*\bruch{1}{\bruch{z}{\alpha}}
[/mm]
>
> Diese Reihe konvergiert dann für [mm][mm] \vmat{\bruch{z}{\alpha}}< [/mm] 1.
Ja wenn ich nun für [mm] \alpha [/mm] z.B. 3 einsetze, wäre dann [mm] |\bruch{z}{\alpha}| [/mm] < 1.
Doch dann sieht meine Funktion so aus:
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\bruch{z}{3}}. [/mm] Und dies kann ich doch nun wirklich nicht in eine geometrische Summenformel umwandeln. Denn der Entwicklungspunkt muss ja 0 sein.
Ist es wirklich möglich, dies in eine Laurent-Reihe zu entwickeln?
|
|
|
| |
|
Hallo one,
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{z}=\bruch{1}{\alpha}*\bruch{1}{\bruch{z}{\alpha}}[/mm]
> >
> > Diese Reihe konvergiert dann für [mm][mm]\vmat{\bruch{z}{\alpha}}<[/mm] 1.
>Ja wenn ich nun für [mm]\alpha[/mm] z.B. 3 einsetze, wäre dann >[mm]|\bruch{z}{\alpha}|[/mm] < 1.
> Doch dann sieht meine Funktion so aus:
>[mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{\bruch{z}{3}}.[/mm] Und dies kann ich >doch nun wirklich nicht in eine geometrische Summenformel umwandeln.
>Denn der Entwicklungspunkt muss ja 0 sein.
>Ist es wirklich möglich, dies in eine Laurent-Reihe zu entwickeln?
Nun, es kann ja sein daß [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
und die Laurentreihe dieser Funktion identsich sind.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Fr 22.05.2009 | | Autor: | one |
Nun, es kann ja sein daß [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
und die Laurentreihe dieser Funktion identsich sind.
ok, dann kann ich dies also so stehen lassen.
Doch wie siehts bei folgendem Problem aus:
Enwickeln Sie die folgende Funktion im angegebenen Kreisring in eine Laurentreihe:
f(z) = [mm] \bruch{1}{(z-c)^n}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1, c [mm] \in \IC^{x} [/mm] in [mm] A_{0,\infty}(c)
[/mm]
Ich möchte zuerst die Funktion [mm] \bruch{1}{z-c} [/mm] in eine Laurtenreihe entwicklen und danach durch Ableiten auf die gewünsche Form kommen.
Doch bei [mm] \bruch{1}{z-c} [/mm] stellt sich wieder die Mühe, wie ich dies erweitern kann, um schlussendlich auf eine Laurentreihe zu gelangen.
Ich muss ja hier um c entwickeln. Wie soll ich nun am besten umformen?
|
|
|
| |
|
Hallo one,
> Nun, es kann ja sein daß [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
> und die Laurentreihe dieser Funktion identsich sind.
>
> ok, dann kann ich dies also so stehen lassen.
> Doch wie siehts bei folgendem Problem aus:
>
> Enwickeln Sie die folgende Funktion im angegebenen
> Kreisring in eine Laurentreihe:
>
> f(z) = [mm]\bruch{1}{(z-c)^n},[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1, c [mm]\in \IC^{x}[/mm]
> in [mm]A_{0,\infty}(c)[/mm]
>
> Ich möchte zuerst die Funktion [mm]\bruch{1}{z-c}[/mm] in eine
> Laurtenreihe entwicklen und danach durch Ableiten auf die
> gewünsche Form kommen.
>
> Doch bei [mm]\bruch{1}{z-c}[/mm] stellt sich wieder die Mühe, wie
> ich dies erweitern kann, um schlussendlich auf eine
> Laurentreihe zu gelangen.
> Ich muss ja hier um c entwickeln. Wie soll ich nun am
> besten umformen?
Nun, Laurentreihen sind ja verallgemeinerte Potenzreihen.
Hier kannst Du ansetzen:
[mm]\bruch{1}{\left(z-c\right)^{n}}=\summe_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}*\left(z-c\right)^{k}[/mm]
Dies ist gleichbedeutend mit:
[mm]1=\summe_{k=-\infty}^{+\infty}a_{k}*\left(z-c\right)^{k+n}[/mm]
Dann stellst Du fest, daß hier wiederum die Funktion selbst ihre Laurentreihe ist.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Fr 22.05.2009 | | Autor: | one |
aja genau, vielen Dank für deine Hilfe.
|
|
|
|
