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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius und bestimmen Sie alle [mm]z \in \IC[/mm], für die folgende Potenzreihe konvergiert:
[mm]\summe_{i=1}^{n} \ \frac{2^n}{n^2+1}(z+i)^n[/mm] |
Hallo Leute,
ich habe Probleme mit den Randbedingungen, als Radius habe ich [mm]r=\frac{1}{2}[/mm] rausbekommen.
Also habe ich:
[mm]|z -(-i)| < \frac{1}{2} \ \ \Rightarrow konvergent[/mm]
[mm]|z -(-i)| < \frac{1}{2} \ \ \Rightarrow divergent[/mm]
Wie bekomme ich nun die Randbedingungen für [mm]|z -(-i)| = \frac{1}{2}[/mm] heraus?
Mein Ansatz war das ich den Betrag einfach einfüge:
[mm]a_n \ = \ \frac{2^n}{n^2+1}( \frac{1}{2})^n[/mm]
Und dann mit dem Wurzelkriterium arbeite.
[mm]\wurzel[n]{\frac{2^n}{n^2+1}|z +i)|^n}=\bruch{2}{\wurzel[n]{2^n+1}} \frac{1}{2}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel[n]{2^n+1}} \frac{1}{2} = 2\cdot \frac{1}{2} = 1 \ge 1 \ \Rightarrow divergent?[/mm]
Ist das richtig so?
Heißt die Lösung dann: Alle [mm]z \in \IC[/mm] für die Gilt das [mm]|z -(-i)| < \frac{1}{2}[/mm] konvergieren. ?
Gruß
Lyrone
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> Berechnen Sie den Konvergenzradius und bestimmen Sie alle [mm]z \in \IC[/mm],
> für die folgende Potenzreihe konvergiert:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \ \frac{2^n}{n^2+1}(z+i)^n[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich habe Probleme mit den Randbedingungen, als Radius habe
> ich [mm]r=\frac{1}{2}[/mm] rausbekommen.
>
> Also habe ich:
>
> [mm]|z -(-i)| < \frac{1}{2} \ \ \Rightarrow konvergent[/mm]
>
> [mm]|z -(-i)|\ \red{<}\ \frac{1}{2} \ \ \Rightarrow divergent[/mm]
Hier hast du nach "Copy and Paste" vergessen, das
Kleiner- durch ein Grösser-Zeichen zu ersetzen.
> Wie bekomme ich nun die Randbedingungen für [mm]|z -(-i)| = \frac{1}{2}[/mm]
> heraus?
>
> Mein Ansatz war dass ich den Betrag einfach einfüge:
>
> [mm]a_n \ = \ \frac{2^n}{n^2+1}( \frac{1}{2})^n[/mm]
Dann müsstest du die Betragsstriche auch hinschreiben.
Und rechts kann man doch prima kürzen!
>
> Und dann mit dem Wurzelkriterium arbeite.
>
> [mm]\wurzel[n]{\frac{2^n}{n^2+1}|z +i)|^n}=\bruch{2}{\wurzel[n]{2^n+1}} \frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel[n]{2^n+1}} \frac{1}{2} = 2\cdot \frac{1}{2} = 1 \ge 1 \ \Rightarrow divergent?[/mm]
Es ist aber doch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{\wurzel[n]{2^n+1}}=2 [/mm] !
...aha, ich merke, du hast aus [mm] n^2 [/mm] plötzlich [mm] 2^n [/mm] gemacht
wenn du das noch korrigierst, ist dein Limes dann wohl richtig.
Trotzdem ist aber die Summe
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n| \ = \ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}[/mm]
konvergent !
> Heißt die Lösung dann: Alle [mm]z \in \IC[/mm] für die Gilt das [mm]|z -(-i)|\ \red{<}\ \frac{1}{2}[/mm]
> konvergieren. ?
Da müsste dann doch ein Kleinergleich-Zeichen stehen !
Und natürlich konvergieren nicht diese z-Werte, sondern
für diese z-Werte konvergiert die Reihe.
Gruß Al-Chw.
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