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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 So 13.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe ein großes Problem mit der Entwicklung in Potenzreihen. Jetzt habe ich hier in meinem Buch (Fischer/Lieb - Einführung in die Funktionentheorie) ein Beispiel zur Entwicklung der Funktion [mm] \bruch{1}{\xi-z}, [/mm] was ich aber nicht wirklich nachvollziehen kann. Ich schreib es hier erstmal komplett hin:
>>
Wir entwickleln den Cauchy-Kern [mm] \bruch{1}{\xi-z} [/mm] in eine geometrische Reihe nach Potenzen von [mm] \bruch{z-z_0}{\xi-z_0}:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\xi-z}=\bruch{1}{1-\bruch{z-z_0}{\xi-z_0}}*\bruch{1}{\xi-z_0}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(z-z_0)^k}{(\xi-z_0)^{k+1}}
[/mm]
<<
So, ich versuch das nun mal auseinander zu truseln. Erstmal schreib ich mit die geometrische Reihe hin: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_0*q^k=a_0*\bruch{1}{1-q}
[/mm]
Dann hab ich erstmal zwei Fragen zu der Aufgabenstellung:
1) Was bedeutet es, nach Potenzen von ... zu entwickeln?
2) Woher weiß ich, was mein Entwicklungspunkt ist?
Nun schreib ich mal die fertig entwickelte Potenzreihe ein bissschen um, dass sie ein bisschen mehr nach der geometrischen Reihe aussieht: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(\xi-z_0)^{k+1}}*(z-z_0)^k
[/mm]
Wenn ich das jetzt mal mit der geometrischen Reihe vergleiche, dann müsste ja mein q der Term [mm] (z-z_0) [/mm] sein. Und mein [mm] a_0 [/mm] wäre dann [mm] \bruch{1}{(\xi-z_0)^{k+1}}.
[/mm]
Aber das passt irgendwie nicht, wenn ich das mit der Umformung von der Ausgangsfunktion [mm] \bruch{1}{\xi-z} [/mm] vergleiche. Weil da wäre [mm] a_0 [/mm] nur [mm] \bruch{1}{\xi-z_0}, [/mm] ohne den Exponenten k+1, und q müsste [mm] \bruch{z-z_0}{\xi-z_0} [/mm] sein. Außerdem ist nach der Formel der geometrischen Reihe das [mm] a_0 [/mm] unabhängig vom Laufindex der Summe, aber der Term [mm] \bruch{1}{(\xi-z_0)^{k+1}} [/mm] ist das ja definitv nicht.
Kann mir vielleicht jemand diese Reihenentwicklung erklären?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Mo 14.07.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Nadine,
du hast ja schon die richtigen Vermutungen für q und [mm] a_0, [/mm] nur musst du den Bruch in der Reihe anders zerlegen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(z - z_0)^k}{(\xi - z_0)^{k+1}} [/mm] =
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(\xi - z_0)}(\bruch{z - z_0}{\xi - z_0})^k
[/mm]
Jetzt erkennst du dein [mm] a_0 [/mm] und dein q.
Gruß
Uli
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