Potenzieren von kompl. Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine relativ einfache Frage.
Nämlich wenn ich eine komplexe Zahl potenziere, darf ich dann die üblichen Potenzgesetze so verwenden wie im reellen?
Wenn ich etwa den komplexen Ausdruck
[mm] $e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{5}}$ [/mm] habe.
Und ich Forme dann mittels Potenzgesetzen um so, dass ich die Eulersche Identität erhalte, so erhalte ich als Ergebnis stets die 1, denn
[mm] $e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{5}}=\left(e^{\pi\cdot i}\right)^{\frac25}=\left(\left(e^{\pi\cdot i}\right)^2\right)^{\frac15}=((-1)^2)^{\frac{1}{5}}=1^{\frac15}=1$ [/mm]
Diese Umformung im komplexen Zuzulassen macht aber eigentlich keinen Sinn.
Wo steckt hier der Fehler, bzw. worauf muss man aufpassen?
Danke.
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Oh stimmt, das war aber eher ein Tippfehler...
Aber dann könnte ich ja auch sowas machen:
[mm] $e^{i\pi}=e^{\frac{2}{2}i\pi}=(e^{2i\pi})^{\frac12}=1$
[/mm]
Was jedoch keinen Sinn ergibt, wenn die Potenzgesetze weiterhin gelten.
Beim Wurzelziehen einer komplexen Zahl hat man ja das Problem, dass diese nicht mehr eindeutig ist
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Mi 06.05.2015 | | Autor: | fred97 |
In [mm] \IC [/mm] ist die Potenz [mm] z^w [/mm] nicht eindeutig.
Es ist zwar [mm] z^w=e^{w*\log(z)}, [/mm] aber der Logarithmus hat in [mm] \IC [/mm] abz. unendlich viel Zweige.
FRED
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Eine Rechnung wie diese hier wäre doch korrekt, oder:
[mm] $\left(e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{n+1}}\right)^{n+1}=e^{2\pi\cdot i\cdot k}=(e^{\pi\cdot i})^{2k}=1$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mi 06.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine Rechnung wie diese hier wäre doch korrekt, oder:
>
> [mm]\left(e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{n+1}}\right)^{n+1}=e^{2\pi\cdot i\cdot k}=(e^{\pi\cdot i})^{2k}=1[/mm]
ja. [mm] ($e^{i\cdot (k \cdot 2\pi)}=1$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IZ$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:49 Mi 06.05.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
Die Potenzgesetze gelten in [mm] \IC [/mm] so natürlich nicht!
Sonst wäre ja [mm] $e^z [/mm] = [mm] \left(e^{2\pi i}\right)^{\bruch{z}{2\pi i}} [/mm] = [mm] 1^{\bruch{z}{2\pi i}} [/mm] =1$ für alle z.
Das ist offensichtlich Blödsinn.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Do 07.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > ich habe eine relativ einfache Frage.
> >
> > Nämlich wenn ich eine komplexe Zahl potenziere, darf
> ich
> > dann die üblichen Potenzgesetze so verwenden wie im
> > reellen?
> >
> > Wenn ich etwa den komplexen Ausdruck
> >
> > [mm]e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{5}}[/mm] habe.
> >
> > Und ich Forme dann mittels Potenzgesetzen um so, dass
> ich
> > die Eulersche Identität erhalte, so erhalte ich als
> > Ergebnis stets die 1, denn
> >
> > [mm]e^{\frac{2\pi\cdot i\cdot k}{5}}=\left(e^{\pi\cdot i}\right)^{\frac25}=\left(\left(e^{\pi\cdot i}\right)^2\right)^{\frac15}=((-1)^2)^{\frac{1}{5}}=1^{\frac15}=1[/mm]
>
> Du hast vergessen das 'k' mitzuschleppen.
> Die Potenzgesetze gelten natürlich weiterhin. Auch bei
> der Rechnung mit komplexen Zahlen.
Das stimmt nicht !
FRED
>
> Valerie
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