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Hallo zusammen,
mich beschäfftigt gerade die Frage, ob es ein systematisches Vorgehen zur Lösung einer Potenzgleichung gibt. Also ich meine
wenn ich [mm] 3^n=27 [/mm] lösen will, kann ich zwar durch ausprobieren (in diesem Fall ja sogar durch bloßes hinsehen) die Lösung finden. Aber gibt es da eigentlich ein mathematisches Prinzip, wie ich n bestimmen kann?
LG fagottator
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Hallo fagottator,
> Hallo zusammen,
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> mich beschäfftigt gerade die Frage, ob es ein
> systematisches Vorgehen zur Lösung einer Potenzgleichung
> gibt. Also ich meine
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> wenn ich [mm]3^n=27[/mm] lösen will, kann ich zwar durch
> ausprobieren (in diesem Fall ja sogar durch bloßes
> hinsehen) die Lösung finden. Aber gibt es da eigentlich
> ein mathematisches Prinzip, wie ich n bestimmen kann?
Naja, wie du schon sagst, ist es hier sehr einfach, du kannst ja auch schreiben:
[mm]3^n=27[/mm]
[mm]\gdw 3^{\red{n}}=3^{\red{3}}[/mm]
Also [mm]n=3[/mm]
Formal rechnerisch kannst du logarithmieren (mit einem bel. Logarithmus)
Also [mm]3^n=27[/mm]
[mm]\Rightarrow \ln\left(3^n\right)=\ln(27)[/mm]
[mm]\Rightarrow n\cdot{}\ln(3)=\ln(27)[/mm] Logarithmusgesetz für Potenzen!
[mm]\Rightarrow n=\frac{\ln(27)}{\ln(3)}=\frac{\ln\left(3^3\right)}{\ln(3)}=\frac{3\ln(3)}{\ln(3)}=3[/mm]
>
> LG fagottator
Gruß
schachuzipus
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> Hallo fagottator,
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> > Hallo zusammen,
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> > mich beschäfftigt gerade die Frage, ob es ein
> > systematisches Vorgehen zur Lösung einer Potenzgleichung
> > gibt. Also ich meine
> >
> > wenn ich [mm]3^n=27[/mm] lösen will, kann ich zwar durch
> > ausprobieren (in diesem Fall ja sogar durch bloßes
> > hinsehen) die Lösung finden. Aber gibt es da eigentlich
> > ein mathematisches Prinzip, wie ich n bestimmen kann?
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> Naja, wie du schon sagst, ist es hier sehr einfach, du
> kannst ja auch schreiben:
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> [mm]3^n=27[/mm]
>
> [mm]\gdw 3^{\red{n}}=3^{\red{3}}[/mm]
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> Also [mm]n=3[/mm]
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> Formal rechnerisch kannst du logarithmieren (mit einem bel.
> Logarithmus)
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> Also [mm]3^n=27[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \ln\left(3^n\right)=\ln(27)[/mm]
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> [mm]\Rightarrow n\cdot{}\ln(3)=\ln(27)[/mm] Logarithmusgesetz für
> Potenzen!
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> [mm]\Rightarrow n=\frac{\ln(27)}{\ln(3)}=\frac{\ln\left(3^3\right)}{\ln(3)}=\frac{3\ln(3)}{\ln(3)}=3[/mm]
Also kann ich meinen Schülern die allgemeine Regel [mm] a^x=b \gdw x=\bruch{ln(b)}{ln(a)} [/mm] angeben?
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> >
> > LG fagottator
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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LG fagottator
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Hallo fagottator,
> Also kann ich meinen Schülern die allgemeine Regel [mm]a^x=b \gdw x=\bruch{ln(b)}{ln(a)}[/mm]
> angeben?
Nicht ganz. Eigentlich heißt die direkte Auflösung der Potenzgleichung [mm] a^x=b [/mm] nach x so: [mm] x=\log_a{b}, [/mm] gelesen "Logarithmus von b zur Basis a" oder "Logarithmus zur Basis a von b", wobei erstere Sprechweise besser verständlich und üblicher ist.
Dann gehört es zu den paar Rechenregeln für Logarithmen, dass
[mm] \log_a{b}=\bruch{\log_c{b}}{\log_c{a}}, [/mm] mit $ c>0, [mm] c\not={1} [/mm] $.
Ich nehme an, Du erinnerst Dich auch an andere Regeln für Logarithmen?
Grüße
reverend
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