Potenzen und Wurzeln von C < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mo 02.06.2008 | | Autor: | TheQ |
| Aufgabe 1 | | Berechne [mm] i^i [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Berechne sqrt(4i) |
Bei Aufgabe 1 bin ich durch berechnen von Betrag und Winkel (phi) so weit gekommen, dass ich [mm] 2e^{i*pi/2}^i [/mm] erhalten habe. Gemäss Lösungen ergibt das dann einfach 2e^(-pi/2). Warum fällt i jeweils weg?
Bei Aufgabe 2 nin ich davon aus gegangen, dass ich ebenfalls Betrag und Winkel berechnen kann.
den Betrag habe ich durch sqrt(0 + 4i) berechnet, was 4 ergibt, bzw. letztendlich 2, weil man konsequenter Weise ja noch eine Wurzel zu ziehen hat.
der Winkel ergibt pi/2, da a = 0 ist. da Winkel addiert werden habe ich angenommen, ich muss nun, da es sich um eine 2te Wurzel handelt, durch 2 dividieren und erhalte pi/4.
Das würde nun als Lösung 2e^(i*pi/4) ergeben, was sich mit den Lösungen des Dozenten deckt. Ist mein Gedankengang richtig, oder ist mein Resultat Zufall?
Letztendlich heisst es auf dem Lösungsblatt,
dass 2e^(i*pi/4) = sqrt(2) + sqrt(2i) sei. Wie kommt man da drauf?
LG Philip
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> 1.) Berechne [mm]i^i[/mm]
> 2.) Berechne sqrt(4i)
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> Bei Aufgabe 1 bin ich durch berechnen von Betrag und
> Winkel [mm] \phi [/mm] so weit gekommen, dass ich [mm]2e^{i*pi/2}^i[/mm]
> erhalten habe.
Da ist wohl etwas mit TeX und wahrscheinlich sonst noch
was schiefgegangen. Richtig wäre:
[mm]\ i^{i} = {(e^{i*\bruch{\pi}{2}})^{i}[/mm] = [mm]\ {e^{i*\bruch{\pi}{2}*i}[/mm] = [mm] e^{-\bruch{\pi}{2}} [/mm]
> Gemäss Lösungen ergibt das dann einfach
> 2e^(-pi/2). ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
der Faktor 2 ist überflüssig
> Warum fällt [mm]\ i [/mm] jeweils weg?
Das sollte aus der obigen Rechnung klar hervorgehen.
Übrigens hat sich schon Leonhard Euler darüber
gewundert, dass [mm]\ i^{i} [/mm] reell ist.
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> Bei Aufgabe 2 bin ich davon aus gegangen, dass ich
> ebenfalls Betrag und Winkel berechnen kann. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> den Betrag habe ich durch sqrt(0 + 4i) berechnet, was 4
> ergibt,
sqrt oder "square root" heisst schon Quadratwurzel,
und du müsstest noch einen Betrag setzen, also:
[mm]\ |\ \wurzel{4*i}\ | = \ abs(sqrt(4*i)) = sqrt(abs(4*i)) = \wurzel{|4*i|} = \wurzel{4} = 2[/mm]
> bzw. letztendlich 2, weil man konsequenter Weise ja
> noch eine Wurzel zu ziehen hat.
>
> der Winkel ergibt pi/2, da a = 0 ist. da Winkel addiert
> werden habe ich angenommen, ich muss nun, da es sich um
> eine 2te Wurzel handelt, durch 2 dividieren und erhalte
> pi/4.
>
> Das würde nun als Lösung 2 e^(i*pi/4) ergeben, was sich mit
> den Lösungen des Dozenten deckt. Ist mein Gedankengang
> richtig, oder ist mein Resultat Zufall?
> Letztendlich heisst es auf dem Lösungsblatt,
> dass 2e^(i*pi/4) = sqrt(2) + sqrt(2i) sei.
nicht ganz o.k. Richtig wäre: [mm]\ 2*e^{i*\bruch{\pi}{4}} = \wurzel{2} + \wurzel{2}*i [/mm]
> Wie kommt man da
> drauf?
Der Grund liegt in der Gleichung: [mm]\ e^{i*\phi} = cos(\phi)+i*sin(\phi)[/mm]
> LG Philip
P.S.:
schau dir bitte diese Antwort (via "Einzeltext" und "Quelltext")
in der Form an, wie ich sie eingegeben habe. Daraus kannst
du ein paar Anregungen zum Umgang mit TeX entnehmen !
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mo 02.06.2008 | | Autor: | TheQ |
Erneut vielen Dank für die Antwort. Ich habe mich tatsächlich ziemlich verschrieben an zwei stellen.
Bei Aufgabe 1, gehörte die überflüssige 2 tatsächlich nicht rein, da habe ich mich wohl von Aufgabe 2 ablenken lassen. Dennoch ist mir nicht klar, warum i im Exponenten weg fällt, hat das damit zu tun, dass
i = [mm] \wurzel{-1} [/mm] ist?
Bei Aufgabe 2 ist mir nicht klar warum sich das Resultat aus
$ \ [mm] e^{i\cdot{}\phi} [/mm] = [mm] cos(\phi)+i\cdot{}sin(\phi) [/mm] $ ergibt. Wie entsteht dort [mm] \wurzel{2} [/mm] ?
[mm] \phi [/mm] ist doch [mm] \pi/4 [/mm] oder 45°
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> Erneut vielen Dank für die Antwort. Ich habe mich
> tatsächlich ziemlich verschrieben an zwei stellen.
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> Bei Aufgabe 1, gehörte die überflüssige 2 tatsächlich nicht
> rein, da habe ich mich wohl von Aufgabe 2 ablenken lassen.
> Dennoch ist mir nicht klar, warum i im Exponenten weg
> fällt, hat das damit zu tun, dass
> i = [mm]\wurzel{-1}[/mm] ist?
Ist dir die Gleichung [mm] e^{i*\phi}=cos(\phi)+i*sin(\phi) [/mm] wirklich
bekannt, und verstehst du sie ?
Nach ihr kann man eben [mm]\ i[/mm] folgendermassen darstellen:
[mm]i = 0 + i*1 = cos(\bruch{\pi}{2}) +i*sin(\bruch{\pi}{2})= e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]
> Bei Aufgabe 2 ist mir nicht klar warum sich das Resultat aus
>
> [mm]\ e^{i\cdot{}\phi} = cos(\phi)+i\cdot{}sin(\phi)[/mm] ergibt.
> Wie entsteht dort [mm]\wurzel{2}[/mm] ?
>
> [mm]\phi[/mm] ist doch [mm]\pi/4[/mm] oder 45°
>
Ja, und es gilt: [mm]\ cos(45°) =sin (45°) = \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 02.06.2008 | | Autor: | TheQ |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also Aufgabe 2 habe ich jetzt verstanden, aber Aufgabe 1 ist mir immernoch nicht ganz klar.
Wie gesagt, auf $ e^{{i\cdot{}\bruch{\pi}{2}}^i} $ komme ich problemlos. Aber was genau passiert, dass dies dann $ e^{{- \bruch{\pi}{2}} $
wird? Nach welcher Logik passiert das? Wenn du mir genau diesen Schritt gerade erklären wolltest, fürchte ich, dass es mir immernoch nicht einleuchtet.
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> Also Aufgabe 2 habe ich jetzt verstanden, aber Aufgabe 1
> ist mir immernoch nicht ganz klar.
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> Wie gesagt, auf [mm] \left(e^{{i\cdot{}\bruch{\pi}{2}}\right)^i}[/mm] komme ich
> problemlos. Aber was genau passiert, dass dies dann [mm]e^{{- \bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
> wird? Nach welcher Logik passiert das? Wenn du mir genau
> diesen Schritt gerade erklären wolltest, fürchte ich, dass
> es mir immernoch nicht einleuchtet.
Das Potenzrechengesetz [mm](a^m)^n = a^{m*n} [/mm] (Beispiel [mm](5^3)^{4} = 5^{3*4}=5^{12}[/mm]
gilt auch für komplexe Zahlen !
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mo 02.06.2008 | | Autor: | TheQ |
Und i * i gibt dann -1?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo TheQ!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 Di 03.06.2008 | | Autor: | TheQ |
Vielen Dank an alle, damit habe ich es nun endgültig begriffen
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