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| Aufgabe | | Geben Sie [mm]a, b \in \IR[/mm] an mit [mm]z^{10} = a + bj[/mm] zu [mm]z = 1 + j[/mm]. |
Hallo liebe Community,
ich habe ein kleines Problem bei der oben stehenden Aufgabe. Bis einschließlich Schritt 4 konnte ich es noch ständig lösen und habe es auch soweit verstanden. Nachdem ich dann einen Blick in die Musterlösung geworfen habe, um es weiter nachzuvollziehen bin ich auf ein kleines "Problem" gestoßen. Hier erstmal was in der Musterlösung steht:
1.: [mm]z = 1 + j[/mm]
2.: [mm]z = \sqrt{2} * e^{\frac{\pi}{4}*j}[/mm]
3.: [mm]z^{10} = \sqrt{2}^{10} * e^{10*\frac{\pi}{4}*j}[/mm]
4.: [mm]z^{10} = 2^{5} * e^{\frac{5}{2}\pi*j}[/mm]
5.: [mm]z^{10} = 32 * e^{\frac{1}{2}\pi*j}[/mm]
6.: [mm]z^{10} = 32 * j[/mm]
Mein Problem ist nun, wie ich von [mm]e^{\frac{5}{2}\pi*j}[/mm] zu [mm]e^{\frac{1}{2}\pi*j}[/mm] (Schritt 4 -> Schritt 5) und dann von [mm]e^{\frac{1}{2}\pi*j}[/mm] zu [mm]j[/mm] (Schritt 5 -> Schritt 6) komme? Wahrscheinlich ist das nun vollkommen rudimentär und ich habe nur nen Brett vor'm Kopf.
Vielen Dank im Voraus,
NE
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Hi,
wir haben:
[mm] e^{ \frac{5}{2}\pi*j } [/mm] = [mm] e^{ 2\pi*j+\frac{1}{2}\pi*j } [/mm] = [mm] \underbrace{e^{2\pi*j}}_{= 1}*e^{\frac{1}{2}\pi*j} [/mm] = [mm] e^{\frac{1}{2}\pi*j} [/mm] = [mm] \underbrace{cos(\frac{1}{2}\pi)}_{= 0} [/mm] + j* [mm] \underbrace{sin(\frac{1}{2}\pi)}_{= 1} [/mm] = j.
Gruss,
logarithmus
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Hey logarithmus,
vielen lieben Dank.
Grüße,
NE
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