Potentialgleichung Lösen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gesucht ist das elektrostatische Potential einer hom. gel. Kugeloberfläche mit Radius R und Gesamtladung Q inner- und außerhalb der Kugel durch Lösung der Potentialgleichung [mm] \Delta\Phi=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}.
[/mm]
Dazu ist gegeben: Ladungsdichte: [mm] \rho(r)=\rho_{0}\delta(r-R) [/mm] mit [mm] \rho_{0}=\frac{Q}{4\pi*R^{2}}
[/mm]
wegen Kugelsymmetrie gilt: [mm] \Delta\Phi(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}*\frac{\partial\Phi}{\partial r})
[/mm]
Zudem soll das Potential im Unendlichen verschwinden und für r=0 endlich sein |
Hey, also prinzipiell ist mir schon klar, wie ich vorgehen muss, ich muss die Potentialgleichungen integrieren.
Also ich betrachte dann ja 2 Fälle, einmal r<R für das Innere und dann noch r>R für das äußere Potential. Dann gilt doch, da insbesondere gilt [mm] R\not=r [/mm] , dass [mm] \delta(r-R)=0 [/mm] ist oder??
Ich hab das mal gerechnet, dann komm ich allerdings auf ein Problem beim inneren Potential, ich hab da nämlich das folgende Integral stehen:
[mm] \integral_{0}^{R}{\frac{c_{1}}{r^{2}} dr} [/mm] wobei [mm] c_{1} [/mm] ne Konstante ist, die von der Integration davor reinkommt. Mein Problem ist jetzt, dass wenn ich das Integral ausschreibe da ja quasi [mm] "\frac{c_{1}}{0}" [/mm] steht. Wo ist da jetzt mein Fehler, kann mir jemand helfen????
mfg piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Di 17.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo piccolo!
> Gesucht ist das elektrostatische Potential einer hom. gel.
> Kugeloberfläche mit Radius R und Gesamtladung Q inner- und
> außerhalb der Kugel durch Lösung der Potentialgleichung
> [mm]\Delta\Phi=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}.[/mm]
> Dazu ist gegeben: Ladungsdichte:
> [mm]\rho(r)=\rho_{0}\delta(r-R)[/mm] mit
> [mm]\rho_{0}=\frac{Q}{4\pi*R^{2}}[/mm]
> wegen Kugelsymmetrie gilt:
> [mm]\Delta\Phi(r)=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}*\frac{\partial\Phi}{\partial r})[/mm]
>
> Zudem soll das Potential im Unendlichen verschwinden und
> für r=0 endlich sein
> Hey, also prinzipiell ist mir schon klar, wie ich vorgehen
> muss, ich muss die Potentialgleichungen integrieren.
>
> Also ich betrachte dann ja 2 Fälle, einmal r<R für das
> Innere und dann noch r>R für das äußere Potential. Dann
> gilt doch, da insbesondere gilt [mm]R\not=r[/mm] , dass
> [mm]\delta(r-R)=0[/mm] ist oder??
Nein, das wird einem immer so erzählt, aber richtig ist, dass die [mm] $\delta$-Distribution [/mm] nur unter einem Integral ausgewertet werden kann. Es gilt:
[mm] \integral_a^b f(x) \delta(x-x_0) dx = \begin{cases} f(x_0), & \text{wenn $a
>
> Ich hab das mal gerechnet, dann komm ich allerdings auf ein
> Problem beim inneren Potential, ich hab da nämlich das
> folgende Integral stehen:
> [mm]\integral_{0}^{R}{\frac{c_{1}}{r^{2}} dr}[/mm] wobei [mm]c_{1}[/mm] ne
> Konstante ist, die von der Integration davor reinkommt.
> Mein Problem ist jetzt, dass wenn ich das Integral
> ausschreibe da ja quasi [mm]"\frac{c_{1}}{0}"[/mm] steht. Wo ist da
> jetzt mein Fehler, kann mir jemand helfen????weggelassen hast.
Dein Fehler ist, dass du die [mm] $\delta$-Distribution [/mm] nicht richtig behandelt hast.
Du musst
[mm] \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}*\frac{\partial\Phi}{\partial r}) = -\bruch{1}{4\pi\varepsilon_0} \bruch{Q}{R^2}\delta(r-R) [/mm]
lösen. Dazu multiplizierst du mit [mm] $r^2$ [/mm] und integrierst von 0 bis r:
[mm] r^{2}*\frac{\partial\Phi}{\partial r} = -\bruch{1}{4\pi\varepsilon_0} \bruch{Q}{R^2} \integral_0^r r'^2 \delta(r'-R) dr' [/mm].
Wenn du das Potential im Inneren, also für $r<R$ bestimmen willst, so ergibt das Integral 0, da der Punkt $r'=R$ außerhalb des Integrationsintervalls liegt. Folglich ist das Potential im Inneren konstant.
Im Außenraum gilt $r>R$, also hast du
[mm] \integral_0^r r'^2 \delta(r'-R) dr' = R^2 [/mm] (der Wert von $r'^2$ and der Stelle $r'=R$).
und daher
[mm] r^{2}*\frac{\partial\Phi}{\partial r} = -\bruch{Q}{4\pi\varepsilon_0} [/mm]
Das Potential ist also proportional zu [mm] $\bruch{1}{r}$.
[/mm]
(Das gilt sogar viel allgemeiner: eine begrenzte kugelförmige Ladungsverteilung hat außerhalb dasselbe Potential wie eine gleich große Punktladung im Mittelpunkt.)
Die Randbedingungen kannst du sicher allein einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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Muss ich dann im Außenraum nicht [mm] r\geR [/mm] betrachten, denn wenn ich r>R betrachte, dann liegt das doch wieder nicht im Integrationsintervall oder?
mfg piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mi 18.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du von 0 bis r>R integrierst liegt doch R im Integrationsintervall!
Gruss leduart
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aber integriere ich nicht von r>R bis unendlich??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mi 18.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du das tust, warum denn , ob du es tust weiss ich nicht.
Gruss leduart
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Ich hätte so integriert, weil ich ja das Potential außerhalb der Kugel berechnen möchte, als r>R und dann interessiert mich das im Inneren ja nicht, daher hätte ich die Integrationsgrenzen von r bis unendlich gesetzt, wobei r>R? oder denk ich falsch, und wenn ja warum???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mi 18.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich hätte so integriert, weil ich ja das Potential
> außerhalb der Kugel berechnen möchte, als r>R und dann
> interessiert mich das im Inneren ja nicht, daher hätte ich
> die Integrationsgrenzen von r bis unendlich gesetzt, wobei
> r>R? oder denk ich falsch, und wenn ja warum???
Du kannst das tun; es bedeutet, dass du die Potentialdifferenz zwischen [mm] $\infty$ [/mm] und r betrachtest.
Du musst aber für beide Bereiche denselben Bezugspunkt setzen, also auch für das Potential innerhalb der Kugelschale von $r$ bis [mm] $\infty$ [/mm] integrieren. Wenn du das tust, dann bekommst du für $r<R$ etwas Anderes als 0 heraus, und du wirst feststellen, dass dein Ergebnis im Nullpunkt nicht endlich ist, im Gegensatz zur Aufgabenstellung.
NACHTRAG:
Dieses (falsche) Ergebnis unterscheidet sich vom richtigen durch eine zusätzliche Punktladung $-Q$ bei $r=0$. Das passiert, weil der Laplaceoperator in Polarkoorodinaten bei $r=0$ undefiniert ist (da steht ja der Faktor [mm] $\bruch{1}{r^2}$). [/mm] Wenn du von $r>0$ bis [mm] $\infty$ [/mm] integrierst, liegt der Punkt $r=0$ außerhalb deines Integrationsintervalls. Damit hast du zwar die Differentialgleichung für das Potential für alle Punkte mit $r>0$ richtig gelöst, aber die Integralbedingung
[mm] \integral_{\IR^3} \rho d^3x = Q [/mm]
stimmt nicht, denn das linke Integral ergibt mit dem von dir berechneten Potential den Wert 0.
Wenn du aber deinen Bezugspunkt bei $0$ legst, dann gibst du vor, dass das Potential dort 0 sein soll und integrierst von $0$ bis $r>0$, sodass die korrekte Gesamtladung automatisch herauskommt.
Viele Grüße
Rainer
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Achso, das leuchtet mir jetzt ein, danke, denke ich bekomm das jetzt hin 
mfg piccolo
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