Potential entwickeln < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein homogen geladener, kreisförmiger Draht mit verschwindend kleinem Querschnitt liegt konzentrisch zum Ursprung in der xy-Ebene. Der Kreis soll Radius R haben und die Gesamtladung Q tragen.
Geben Sie das elektrostatische Potential entlang der z-Achse an. |
Hallo,
ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
Grundlegend kann man ja durch direkte Integration über diesen Draht das Potential recht einfach bestimmen. Dafür ergibt sich bei mir zunächst:
[mm] \phi \left( z \right) = \bruch{1}{4 \pi \epsilon _0} * \bruch{Q}{ \wurzel{R^2 + z^2}}[/mm]
Nun sollen wir diese Funktion allerdings noch mit Hilfe der Lösung der Laplacegleichung in Kugelkoordinaten entwickeln. Da hier Azimuthalsymmetrie vorliegt und wir außerdem zunächst entlang der z-Achse gucken ([mm] \theta = 0 [/mm]) vereinfacht sich dies zu:
[mm] \phi \left( z \right) = \summe_{l=0}^{\infty} \left( a_l * z^l + b_l * z^{-l-1} \right) [/mm]
Also sollen hier die [mm] a_l [/mm] und [mm] b_l [/mm] bestimmt werden. Da mit dem ersten Ausdruck für das Potential ein endliches Potential im Nullpunkt resultiert, folgt, dass [mm] b_l [/mm] = 0 gelten muss, da es dort sonst eine Singularität gäbe. also gilt es die [mm] a_l [/mm] mit Hilfe der Gleichung
[mm] \bruch{1}{4 \pi \epsilon _0} * \bruch{Q}{ \wurzel{R^2 + z^2}} = \summe_{l=0}^{\infty} a_l * z^l [/mm]
zu bestimmen. Und hier verließen sie mich. Ich habe zwar ein wenig was ausprobiert, um diese Reihe in eine Summe orthonormaler Funktionen umzuschreiben, aber das funktioniert letzten Endes bei mir nicht. Hat jemand einen guten Ansatz, wie ich das umsetzen kann? Oder habe ich vorher schon einen anderen Denkfehler gemacht?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Mi 26.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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