Potential bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Di 19.06.2012 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Vektorfeld [mm]\vec{f}:\IR^2\to\IR^2[/mm] mit
[mm]\vec{f}(x,y)=\vektor{g(x)\cdot e^y+3x^2y+2x \\
sin x \cdot e^y +x^3-3y^2}[/mm]
enthält eine unbekannte Funktion [mm]g:\IR\to\IR[/mm]. g soll so bestimmt werden, dass [mm] $\vec{f}$ [/mm] ein Potential u besitzt. Dann soll mit eingesetztem $g$ $u$ bestimmt werden |
Hallo zusammen. Für diese Aufgabe löse ich erstmal die Bedingung
[mm] $\dfrac{\partial \vec{f}_x}{\partial y}=\dfrac{\partial \vec{f}_y}{\partial x}$
[/mm]
Also:
[mm] $g(x)\cdot e^y+3x^2=cos [/mm] x [mm] \cdot e^y+3x^2$
[/mm]
Damit ist mein $g(x)=cos x$
Jetzt fällt mir das aber schwer das Potential aus
[mm]\vec{f}(x,y)=\vektor{cos x \cdot e^y+3x^2y+2x \\
sin x \cdot e^y +x^3-3y^2}[/mm]
zu bestimmen.
Könntet Ihr mir einen Tipp geben bzw. die Schritte, die ich dafür anwenden muss erläutern?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Di 19.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das gesuchte Potential V hat ja den gradV=f
d.h. [mm] V_x=f1 [/mm] also musst du f1 nach x integrieren, oder f2 nach y dabei sollt dasselbe rauskommen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Di 19.06.2012 | | Autor: | lzaman |
Hi, dann integriere ich mal zuerst [mm] $f_x$ [/mm] nach $x$:
[mm]\integral {cos x \cdot e^y +3x^2y+2x \ dx}=sinx \cdot e^y + x^3y +x^2 +C(y)[/mm]
und [mm] $f_y$ [/mm] nach y:
[mm]\integral {sin x \cdot e^y +x^3-3y^2 \ dy}=sinx \cdot e^y + x^3y -y^3 +C(x)[/mm]
und das ist doch nicht das gleiche, oder? Irgendwie habe ich das noch nicht so ganz verinnerlicht...
Danke
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Hallo Izaman,
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> Hi, dann integriere ich mal zuerst [mm]f_x[/mm] nach [mm]x[/mm]:
>
> [mm]\integral {cos x \cdot e^y +3x^2y+2x \ dx}=sinx \cdot e^y + x^3y +x^2 +C(y)[/mm]
>
> und [mm]f_y[/mm] nach y:
>
> [mm]\integral {sin x \cdot e^y +x^3-3y^2 \ dy}=sinx \cdot e^y + x^3y -y^3 +C(x)[/mm]
>
Das sind doch zwei unterschiedliche C's.
Um dies zu verdeutlichen, werden diese C's mit Indizes versehen:
[mm]\integral {cos x \cdot e^y +3x^2y+2x \ dx}=sinx \cdot e^y + x^3y +x^2 +C_{\blue{1}}(y)[/mm]
[mm]\integral {sin x \cdot e^y +x^3-3y^2 \ dy}=sinx \cdot e^y + x^3y -y^3 +C_{\blue{2}}(x)[/mm]
Und jetzt kannst Du durch Vergleich beider rechten Seiten miteinander,
[mm]C_{1}(y)[/mm] und [mm]C_{2}(x)[/mm] bestimmen.
> und das ist doch nicht das gleiche, oder? Irgendwie habe
> ich das noch nicht so ganz verinnerlicht...
>
Ein alternativer Weg:
Differenziere die aus [mm]f_{x}[/mm] errechnete Stammfunktion nach y
und vergleiche sie mit [mm]f_{y}[/mm]:
[mm]\bruch{\partial}{\partial y}\left( \ sinx \cdot e^y + x^3y +x^2 +C_{1}(y)\ \right)=sin x \cdot e^y +x^3-3y^2 [/mm]
> Danke
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:45 Mi 20.06.2012 | | Autor: | lzaman |
Also korrigiert mich bitte wenn es falsch ist, aber meine gesuchte Potentialfunktion [mm]u[/mm] muss dann [mm]u(x,y)=sinx \cdot e^y+x^3y+x^2-y^3[/mm] sein. Denn es muss gelten:
[mm]\dfrac{\partial}{\partial x}(sin x \cdot e^y+x^3+x^2-y^3)=f_1(x,y)=cos x \cdot e^y +3x^2y+2x[/mm]
und
[mm]\dfrac{\partial}{\partial y}(sin x \cdot e^y+x^3+x^2-y^3)=f_2(x,y)=sin x \cdot e^y +x^3-3y^2[/mm]
Also ist das bei der Potentialfunktion [mm]u(x,y)=sinx \cdot e^y+x^3y+x^2-y^3[/mm] der Fall.
Wie man den letzten Schritt eben berechnet habe ich noch nicht so ganz raus...
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mi 20.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
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> Also korrigiert mich bitte wenn es falsch ist, aber meine
> gesuchte Potentialfunktion [mm]u[/mm] muss dann [mm]u(x,y)=sinx \cdot e^y+x^3y+x^2-y^3[/mm]
> sein. Denn es muss gelten:
>
> [mm]\dfrac{\partial}{\partial x}(sin x \cdot e^y+x^3+x^2-y^3)=f_1(x,y)=cos x \cdot e^y +3x^2y+2x[/mm]
>
> und
>
> [mm]\dfrac{\partial}{\partial y}(sin x \cdot e^y+x^3+x^2-y^3)=f_2(x,y)=sin x \cdot e^y +x^3-3y^2[/mm]
>
> Also ist das bei der Potentialfunktion [mm]u(x,y)=sinx \cdot e^y+x^3y+x^2-y^3[/mm]
> der Fall.
ja das stimmt. Du kannst noch eine Konstante dazuaddieren.
>
> Wie man den letzten Schritt eben berechnet habe ich noch
> nicht so ganz raus...
Du hast es doch getan...
Integriere die i-te Komponente des Vektorfelds nach der i-ten Variable und passe dann bei allen die Integrationskonstante (welche von den anderen Variablen abhängen können) so an, dass gilt:
[mm] $\nabla V=\vec{f}$
[/mm]
>
> Danke
>
Gruß,
notinX
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