Potential aus Umlaufzeit < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Das Potential V(x) habe ein Minimum bei [mm] x=x_0 [/mm] mit dem Wert [mm] V_0. [/mm] In der Vorlesung wurde die Umlaufzeit T als Funktion der Energie E bestimmt. Umgekehrt soll nun für die gegebene Funktion T(E) das Potential bestimmt werden.
Hinweise:
(i) Ersetzen Sie in T(E) die Integration über x durch eine Integration über V; beachten Sie dabei, dass x(V) zwei Zweige besitzt.
(ii) Wenden Sie auf die so erhaltene Gleichung [mm] \integral_{V_0}^{\alpha}{\frac{dE}{\sqrt{\alpha-E}}} [/mm] an. |
Hallo zusammen,
in der Tat wurde in der Vorlesung T(E) hergeleitet:
[mm] E=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)
[/mm]
=> [mm] \frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x))}
[/mm]
dt = [mm] \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x))}}
[/mm]
= [mm] \sqrt{\frac{m}{2}}\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{T}{dt}= [/mm] T(E) = [mm] 2\sqrt{\frac{m}{2}}\integral_{x_1}^{x_2}{\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}}}
[/mm]
Ich habe ein paar Fragen zu Aufgabe, welche mich daran hindern, überhaupt anfangen zu können:
1) Wie kann man bei einer Integration einfach die Integrationsvariable ersetzen? (x durch V)
2) Was heißt "x(v) besitzt zwei Zweige"
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 So 05.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das Potential V(x) habe ein Minimum bei [mm]x=x_0[/mm] mit dem Wert
> [mm]V_0.[/mm] In der Vorlesung wurde die Umlaufzeit T als Funktion
> der Energie E bestimmt. Umgekehrt soll nun für die gegebene
> Funktion T(E) das Potential bestimmt werden.
>
> Hinweise:
> (i) Ersetzen Sie in T(E) die Integration über x durch eine
> Integration über V; beachten Sie dabei, dass x(V) zwei
> Zweige besitzt.
>
> (ii) Wenden Sie auf die so erhaltene Gleichung
> [mm]\integral_{V_0}^{\alpha}{\frac{dE}{\sqrt{\alpha-E}}}[/mm] an.
> Hallo zusammen,
>
> in der Tat wurde in der Vorlesung T(E) hergeleitet:
>
> [mm]E=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+V(x)[/mm]
>
> => [mm]\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x))}[/mm]
>
> dt = [mm]\frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-V(x))}}[/mm]
> = [mm]\sqrt{\frac{m}{2}}\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{T}{dt}=[/mm] T(E) =
> [mm]2\sqrt{\frac{m}{2}}\integral_{x_1}^{x_2}{\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}}}[/mm]
>
>
> Ich habe ein paar Fragen zu Aufgabe, welche mich daran
> hindern, überhaupt anfangen zu können:
>
> 1) Wie kann man bei einer Integration einfach die
> Integrationsvariable ersetzen? (x durch V)
Substitution.
> 2) Was heißt "x(v) besitzt zwei Zweige"
Während einer Periode T durchläuft x das Intervall von [mm] $x_1$ [/mm] bis [mm] $x_2$ [/mm] zweimal, einmal vorwärts, einmal rückwärts.
EDIT: Da V(x) ein Minimum hat, gibt es keine globale Umkehrfunktion, sondern nur zwei lokale Umkehrfunktionen rechts und links vom Minimum.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 05.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
zunächst ein Beispiel zu Substitution:
[mm] \int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x
[/mm]
für eine beliebige reelle Zahl <math>a > 0:
Durch die Substitution erhalten wir und:
[mm] \int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x [/mm] = [mm] \int_{0}^{2a} \sin(t) \,\frac{\mathrm{d}t}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \int_{0}^{2a} \sin(t) \,\mathrm{d}t= \frac{1}{2} [/mm] [ [mm] -\cos(t) ]_0^{2a} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (-\cos(2a)+\cos(0)) =\frac{1}{2}(1 [/mm] - [mm] \cos(2a))
[/mm]
(wikipedia)
Aber ich weiß ja nichts über V(x), wie soll ich dann eine beziehung zwischen V(x) und dx herstellen?
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 So 05.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> zunächst ein Beispiel zu Substitution:
>
> [mm]\int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x[/mm]
> für eine beliebige
> reelle Zahl <math>a > 0:
> Durch die Substitution erhalten wir und:
> [mm]\int_{0}^a \sin(2x) \,\mathrm{d}x[/mm] = [mm]\int_{0}^{2a} \sin(t) \,\frac{\mathrm{d}t}{2}[/mm] = [mm]\frac{1}{2} \int_{0}^{2a} \sin(t) \,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}[/mm] [ [mm]-\cos(t) ]_0^{2a}[/mm] = [mm]\frac{1}{2} (-\cos(2a)+\cos(0)) =\frac{1}{2}(1[/mm] - [mm]\cos(2a))[/mm]
>
> (wikipedia)
>
> Aber ich weiß ja nichts über V(x), wie soll ich dann eine beziehung zwischen V(x) und dx herstellen?
Du brauchst für die Substitution nur, dass V(x) differenzierbar und im Integrationsbereich streng monoton ist. Wegen der Monotonie musst du die Zweige getrennt betrachten. (Da habe ich in meiner letzten Antwort nicht genau hingeschaut: da [mm] $x_0$ [/mm] ein Minimum von V(x) ist, musst du [mm] $x_1
Dann setzt du einfach due Formel für die Substitution ein. Mit der Variablen $v=V(x)$ ist:
[mm] \integral_a^b f(V(x)) dx = \integral_{V(a)}^{V(b)} \bruch{f(v)}{V'(V^{-1}(v) )} dv [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 So 05.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo Rainer,
das versteh ich leider immer noch nicht.
Wie sähe das dann auf das Beispiel [T(E)] angewendet aus?
So?:
[mm] \sqrt{2m}\integral_{x_1}^{x_2}{\frac{dx}{\sqrt{E_V(x)}}}
[/mm]
= [mm] \integral_{V(x_1)}^{V(x_0)}{\frac{\frac{dx}{\sqrt{E_V(x)}}}{V'(V^{-1}(V(x))) dV(x)}} [/mm] + [mm] \integral_{V(x_0)}^{V(x_2)}{\frac{\frac{dx}{\sqrt{E_V(x)}}}{V'(V^{-1}(V(x))) dV(x)}}
[/mm]
Das sieht irgendwie seltsam aus. Ich wüsste auch nicht, qwie man damit weitermachen könnte.
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 So 05.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Tut mir leid, ich hatte ine gescheifte Klammer vergessen, dadurch ist das dv in den Nenner gerutscht.
> Hallo Rainer,
>
> das versteh ich leider immer noch nicht.
>
> Wie sähe das dann auf das Beispiel [T(E)] angewendet aus?
>
> So?:
> [mm]\sqrt{2m}\integral_{x_1}^{x_2}{\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}}}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{V(x_1)}^{V(x_0)}{\frac{\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}}}{V'(V^{-1}(V(x))) dV(x)}}[/mm]
> +
> [mm]\integral_{V(x_0)}^{V(x_2)}{\frac{\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}}}{V'(V^{-1}(V(x))) dV(x)}}[/mm]
Das ergibt keinen Sinn! Wieso hast du plötzlich dx und $dV(x)$? Führe doch systematisch die Substitution V=V(x) durch: $dV=V'(x) dx$, mit $f(V)= [mm] \bruch{1}{\sqrt{E-V}}$! [/mm] Dann steht da
[mm] \integral_{V(x_1)}^{V(x_0)}{\frac{dV}{\sqrt{E-V}V'(x(V))} + \integral_{V(x_0)}^{V(x_2)}{\frac{dV}{\sqrt{E-V}V'(x(V))}[/mm]
> Das sieht irgendwie seltsam aus. Ich wüsste auch nicht,
> qwie man damit weitermachen könnte
Was ist [mm] $V(x_1)$ [/mm] bzw [mm] $V(x_2)$? [/mm] Die lassen sich doch viel einfacher schreiben.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo, danke für Deine Antowort. Ich werde mich morgen nochmal ranwagen. Ich hoffe, ich finde endlich eine Lösung für die Aufgabe. [Ich beschäftige mich schon das ganze Wochenende damit (und anderen Mechanikaufgabe, und bin bei keiner wirklich weiter gekommen... Irgendwie ist beim aktuellen Aufgabenblatt der Wurm drin)]
Nun, bei [mm] V(x_1) [/mm] ist die gesamte kinetische in potentielle Energie umgesetzt. Genauso bei [mm] V(x_2). [/mm] D.h. [mm] V(x_1)=V(x_2)=E_pot
[/mm]
[mm] V(x_0) [/mm] gibt es nur kinetische Energie. D.h. [mm] V(x_0)=E_kin.
[/mm]
Meinstest du das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:58 Mo 06.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Nun, bei [mm]V(x_1)[/mm] ist die gesamte kinetische in potentielle
> Energie umgesetzt. Genauso bei [mm]V(x_2).[/mm] D.h.
> [mm]V(x_1)=V(x_2)=E_{pot}[/mm]
V ist immer gleich der potentiellen Enregie, so ist die potentielle Energie definiert. Du hast recht, dass an den Endpunkten der Bewegung die kinetische Energie 0 ist, also ist [mm]V(x_1)=V(x_2)=E[/mm].
> [mm]V(x_0)[/mm] gibt es nur kinetische Energie. D.h. [mm]V(x_0)=E_kin.[/mm]
Das ist falsch. Das Potential und damit die potentielle Energie am Punkt [mm] $x_0$ [/mm] ist [mm] $V_0$. [/mm] Die kinetische Energie ist maximal.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Di 07.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo, die letzen Tage bin ich nciht dazugekommen, weiter an der Aufgabe zu arbeiten. Jetzt solls weiter gehen.
Irgenwie harkt es bei mir noch mit den gegebenen Hinweisen.
Was heißt: "Wenden sie auf die so erhaltene Gleichung ... an"?
Wie kann ich einfach einen Term auf einen anderen "anwenden"? (man hat ja keinen operator oder sontwas, sondern nur das substituierte Integral (übrigens, danke Rainer, das habe ich jetzt wenigstens verstanden, warum man es auf diese Weise substituiert.))
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mi 08.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, die letzen Tage bin ich nciht dazugekommen, weiter
> an der Aufgabe zu arbeiten. Jetzt solls weiter gehen.
>
> Irgenwie harkt es bei mir noch mit den gegebenen
> Hinweisen.
>
> Was heißt: "Wenden sie auf die so erhaltene Gleichung ...
> an"?
>
> Wie kann ich einfach einen Term auf einen anderen
> "anwenden"? (man hat ja keinen operator oder sontwas,
> sondern nur das substituierte Integral (übrigens, danke
> Rainer, das habe ich jetzt wenigstens verstanden, warum man
> es auf diese Weise substituiert.))
Ich denke, du sollst die entstandene Gleichung für T(E) integrieren, also
[mm] \integral\limits_{V_0}^\alpha \bruch{T(E)}{\sqrt{\alpha-E}} dE [/mm]
ausrechnen.
Tipp: Vertausche die beiden Integrationen, beachte dabei, dass du über ein Dreieck integrierst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Do 09.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
es hapert leider immer noch an meinen mathematischen Fähigkeiten. Integrieren von normlen Funktionen bekomme ich normalerweise noch hin.
Hier habe ich allerdings:
[mm] \wurzel{2m}\left(\integral_{V_0}^{\alpha}{\frac{\integral_{V(x_1)}^{V(x_0)}{\frac{dv}{\wurzel{E-V}V'(x(V))}}}{\wurzel{\alpha-E}}dE} +
\integral_{V_0}^{\alpha}{\frac{\integral_{V(x_0)}^{V(x_2)}{\frac{dv}{\wurzel{E-V}V'(x(V))}}}{\wurzel{\alpha-E}}dE} \right)
[/mm]
=
[mm] \wurzel{2m}\left(\integral_{V_0}^{\alpha}{\frac{\integral_{E}^{V_0}{\frac{dv}{\wurzel{E-V}V'(x(V))}}}{\wurzel{\alpha-E}}dE} +
\integral_{V_0}^{\alpha}{\frac{\integral_{V_0}^{E}{\frac{dv}{\wurzel{E-V}V'(x(V))}}}{\wurzel{\alpha-E}}dE} \right)
[/mm]
Wie soll ich hier auf das Potential V(x) kommen?
Danke für Deine Tipps, Rainer. Aber Integrale vertauschen? Hier sind so viele. Ich hätte schon meine Probleme 2 Integrale zu vertauschen.
Außerdem finde ich es erstaunlich, dass man hier überhaupt sieht, dass über ein Dreieck integriert wird. Ich weiß nichtmal was ich mit dem Tipp anfangen soll.
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Do 09.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Konzentriere dich aufs Wesentliche und nimm dir eines der Integrale her:
[mm]\integral_{V_0}^{\alpha} \frac{dE}{\wurzel{\alpha-E}} \integral_{V_0}^{E} \frac{dv}{\wurzel{E-\red{v}}V'(x(\red{v}))}}}
= \integral_{V_0}^{\alpha} dE \integral_{V_0}^{E} dv \frac{1}{\wurzel{\alpha-E}\wurzel{E-v}V'(x(v))}}}
[/mm]
Wie siehst das Integrationsgebiet in der E-v-Ebene aus?
Dann vertauschst du die Integrationen und rechnest das innere Integral aus.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Do 09.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
> Hallo!
>
> Konzentriere dich aufs Wesentliche und nimm dir eines der
> Integrale her:
>
> [mm]\integral_{V_0}^{\alpha} \frac{dE}{\wurzel{\alpha-E}} \integral_{V_0}^{E} \frac{dv}{\wurzel{E-\red{v}}V'(x(\red{v}))}}}
= \integral_{V_0}^{\alpha} dE \integral_{V_0}^{E} dv \frac{1}{\wurzel{\alpha-E}\wurzel{E-v}V'(x(v))}}}
[/mm]
>
> Wie siehst das Integrationsgebiet in der E-v-Ebene aus?
das kann ich mir nicht so recht vorstellen. evtl. so ähnlich wie eine nach rechts geklappte und nach oben verschobene parabel?
> Dann vertauschst du die Integrationen und rechnest das
> innere Integral aus.
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
>
[mm]\integral_{V_0}^{\alpha} \frac{dE}{\wurzel{\alpha-E}} \integral_{V_0}^{E} \frac{dv}{\wurzel{E-\red{v}}V'(x(\red{v}))}}}
= \integral_{V_0}^{\alpha} dE \integral_{V_0}^{E} dv \frac{1}{\wurzel{\alpha-E}\wurzel{E-v}V'(x(v))}}}
[/mm]
ok, die integration vertauschen (ist es das was du meinst?)
= [mm] \integral_{V_0}^{E} [/mm] dv [mm] \integral_{V_0}^{\alpha} [/mm] dE [mm] \frac{1}{\wurzel{\alpha-E}\wurzel{E-v}V'(x(v))}
[/mm]
Betrachten wir das innere Integral:
[mm] \integral_{V_0}^{\alpha}dE\frac{1}{\wurzel{\alpha-E}\wurzel{E-v}V'(x(v))}
[/mm]
Selbst wenn man es noch weiter vereinfacht (die zwei Wurzel zu einer Wurzel zusammenfassen), wird es zum integrieren nicht einfacher.
Hier findet man per Hand doch keine Stammfunktion.
Danke für Deine Mühe, ich hoffe, dass ich deine Nerven nicht zu sehr beanspruche 
Gruß,
Rutzel
Ps: das spuckt übrigens mathematica zu dieser art von integral aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Do 09.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > Konzentriere dich aufs Wesentliche und nimm dir eines der
> > Integrale her:
> >
> > [mm]\integral_{V_0}^{\alpha} \frac{dE}{\wurzel{\alpha-E}} \integral_{V_0}^{E} \frac{dv}{\wurzel{E-\red{v}}V'(x(\red{v}))}}}
= \integral_{V_0}^{\alpha} dE \integral_{V_0}^{E} dv \frac{1}{\wurzel{\alpha-E}\wurzel{E-v}V'(x(v))}}}
[/mm]
>
> >
> > Wie siehst das Integrationsgebiet in der E-v-Ebene aus?
>
> das kann ich mir nicht so recht vorstellen. evtl. so
> ähnlich wie eine nach rechts geklappte und nach oben
> verschobene parabel?
Hast du es dir aufgemalt? E läuft von [mm] $V_0$ [/mm] bis [mm] $\alpha$ [/mm] und v von [mm] $V_0$ [/mm] bis E: [mm] $V_0 \le [/mm] v [mm] \le [/mm] E [mm] \le \alpha$.
[/mm]
>
>
> > Dann vertauschst du die Integrationen und rechnest das
> > innere Integral aus.
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
> >
> >
>
> [mm]\integral_{V_0}^{\alpha} \frac{dE}{\wurzel{\alpha-E}} \integral_{V_0}^{E} \frac{dv}{\wurzel{E-\red{v}}V'(x(\red{v}))}}}
= \integral_{V_0}^{\alpha} dE \integral_{V_0}^{E} dv \frac{1}{\wurzel{\alpha-E}\wurzel{E-v}V'(x(v))}}}
[/mm]
>
> ok, die integration vertauschen (ist es das was du
> meinst?)
>
> = [mm]\integral_{V_0}^{E}[/mm] dv [mm]\integral_{V_0}^{\alpha} dE \frac{1}{\wurzel{\alpha-E}\wurzel{E-v}V'(x(v))}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die obere Grenze des inneren Integrals hängt von der Integrationsvariablen des äußeren ab. Du musst das Integrationsgebiet richtig parametrisieren!
> Betrachten wir das innere Integral:
>
> [mm]\integral_{V_0}^{\alpha}dE\frac{1}{\wurzel{\alpha-E}\wurzel{E-v}V'(x(v))}[/mm]
>
> Selbst wenn man es noch weiter vereinfacht (die zwei Wurzel
> zu einer Wurzel zusammenfassen), wird es zum integrieren
> nicht einfacher.
>
> Hier findet man per Hand doch keine Stammfunktion.
Das ist ein quadratisches Polynom unter der Wurzel, das steht in jeder halbwegs guten Integraltafel. Oder du führst es durch Substitution auf das Integral von [mm] $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ [/mm] zurück. Tipp: das Ergebnis ist eine Konstante.
> Ps: das spuckt übrigens mathematica zu dieser art von
> integral aus:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Das Vorzeichen von [mm] $\frac{\alpha-V_0}{v - V_0}$ [/mm] ist offensichtlich, wenn du dir klargemacht hast, wie dein Integrationsgebiet aussieht: Der Bruch ist reell und liegt zwischen 0 und 1.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
> Hast du es dir aufgemalt? E läuft von [mm]V_0[/mm] bis [mm]\alpha[/mm] und v
> von [mm]V_0[/mm] bis E: [mm]V_0 \le v \le E \le \alpha[/mm].
Nein, ich habe es nicht aufgemalt, ich kann es nicht, ich versteh es noch nicht einmal ansatzweise.
E-V Ebene. D.h. ich trage E auf die x-achse auf und V auf die Y-Achse.
wo muss ich dann aber "klein v", [mm] \alpha [/mm] einzeichnen?
Was ist überhaupt alpha? (physikalisch gesehen)
> Die obere Grenze des inneren Integrals hängt von
> der Integrationsvariablen des äußeren ab. Du musst das
> Integrationsgebiet richtig parametrisieren!
Integrationsgebiet parametrisieren? Mir wurde erst vor ein paar Tagen klar, wie ich ein Weg parametrisiere.
Aber ein Gebiet, welches ich nicht aufzeichnen kann, kann ich nicht parametrisieren. Auch hier hapert es....
> Das ist ein quadratisches Polynom unter der Wurzel, das
> steht in jeder halbwegs guten Integraltafel. Oder du führst
> es durch Substitution auf das Integral von
> [mm]\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/mm] zurück. Tipp: das Ergebnis ist eine
> Konstante.
> Rainer
Ok, soweit ich habe das hier als Stammfunktion gefunden, bringt mich das weiter?
[mm] \integral dE\frac{1}{\wurzel{\alpha-E}\wurzel{E-v}V'(x(v))}
[/mm]
=
[mm] \frac{2 \wurzel{E-v}\wurzel{-E+\alpha}arctan(\frac{\wurzel{E-v}}{\wurzel{-E+\alpha}})}{V'(x(v))\wurzel{(E-v)(-E+\alpha)}}
[/mm]
eine Konstante ist das aber nicht... :-(
Gruß,
Rutzel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Fr 10.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> > Hast du es dir aufgemalt? E läuft von [mm]V_0[/mm] bis [mm]\alpha[/mm] und v
> > von [mm]V_0[/mm] bis E: [mm]V_0 \le v \le E \le \alpha[/mm].
>
>
>
> Nein, ich habe es nicht aufgemalt, ich kann es nicht, ich
> versteh es noch nicht einmal ansatzweise.
>
> E-V Ebene. D.h. ich trage E auf die x-achse auf und V auf
> die Y-Achse.
Nein, deine Integrationsvariablen sind doch E und v. E läuft von [mm] $V_0$ [/mm] bis [mm] $\alpha$, [/mm] v von [mm] $V_0$ [/mm] bis E. Das ist ein Dreieck mit den Ecken [mm] $(V_0,V_0)$, $(\alpha,V_0)$ [/mm] und [mm] $(\alpha,\alpha)$ [/mm] in der E-v-Ebene. Bei Vertauschung der Integrationen läuft die äußere (v) von [mm] $V_0$ [/mm] bis [mm] $\alpha$, [/mm] die innere (E) von v bis [mm] $\alpha$.
[/mm]
> wo muss ich dann aber "klein v", [mm]\alpha[/mm] einzeichnen?
>
> Was ist überhaupt alpha? (physikalisch gesehen)
Eine Grenze für die Energie.
> Ok, soweit ich habe das hier als Stammfunktion gefunden,
> bringt mich das weiter?
>
> [mm]\integral dE\frac{1}{\wurzel{\alpha-E}\wurzel{E-v}V'(x(v))}[/mm]
>
> =
> [mm]\frac{2 \wurzel{E-v}\wurzel{-E+\alpha}arctan(\frac{\wurzel{E-v}}{\wurzel{-E+\alpha}})}{V'(x(v))\wurzel{(E-v)(-E+\alpha)}}[/mm]
>
> eine Konstante ist das aber nicht... :-(
Du sollst ja auch das bestimmte Integral ausrechnen. In dieser Form ist es ziemlich mühsam. Mach doch einfach mal das, was ich dir aufgeschrieben habe! Mit quadratischer Ergänzung unter der Wurzel ist
[mm] \integral_{v}^{\alpha} \frac{dE}{\sqrt{(\alpha-E)(E-v)}} = \integral_{v}^{\alpha} \frac{dE}{\sqrt{((\alpha+v)/2-E)^2 + (\alpha-v)^2/4}} [/mm]
Dann substituierst du $u = [mm] E-(\alpha+v)/2$:
[/mm]
[mm] \integral_{-(\alpha-v)/2}^{+(\alpha-v)/2} \frac{du}{\sqrt{-u^2 + (\alpha-v)^2/4}}
= \arcsin \bruch{2u}{\alpha-v} \Bigr|_{-(\alpha-v)/2}^{+(\alpha-v)/2} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
> Du sollst ja auch das bestimmte Integral ausrechnen. In
> dieser Form ist es ziemlich mühsam. Mach doch einfach mal
> das, was ich dir aufgeschrieben habe! Mit quadratischer
> Ergänzung unter der Wurzel ist
>
> [mm]\integral_{v}^{\alpha} \frac{dE}{\sqrt{(\alpha-E)(E-v)}} = \integral_{v}^{\alpha} \frac{dE}{\sqrt{((\alpha+v)/2-E)^2 + (\alpha-v)^2/4}}[/mm]
Die Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen sind doch nicht identisch. Wie kommst du darauf?
>
> Dann substituierst du [mm]u = E-(\alpha+v)/2[/mm]:
>
> [mm]\integral_{-(\alpha-v)/2}^{+(\alpha-v)/2} \frac{du}{\sqrt{-u^2 + (\alpha-v)^2/4}}
= \arcsin \bruch{2u}{\alpha-v} \Bigr|_{-(\alpha-v)/2}^{+(\alpha-v)/2}[/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 12.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Du sollst ja auch das bestimmte Integral ausrechnen. In
> > dieser Form ist es ziemlich mühsam. Mach doch einfach mal
> > das, was ich dir aufgeschrieben habe! Mit quadratischer
> > Ergänzung unter der Wurzel ist
> >
> > [mm]\integral_{v}^{\alpha} \frac{dE}{\sqrt{(\alpha-E)(E-v)}} = \integral_{v}^{\alpha} \frac{dE}{\sqrt{((\alpha+v)/2-E)^2 + (\alpha-v)^2/4}}[/mm]
>
> Die Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen sind doch
> nicht identisch. Wie kommst du darauf?
Ja, sorry, da fehlt ein Minuszeichen, das ist beim EIntippen verloren gegangen:
[mm]\integral_{v}^{\alpha} \frac{dE}{\sqrt{(\alpha-E)(E-v)}} = \integral_{v}^{\alpha} \frac{dE}{\sqrt{\red{-}((\alpha+v)/2-E)^2 + (\alpha-v)^2/4}}[/mm]
Das siehst du auch an der nächsten Formel, da steht es nämlich richtig.
Rechne doch selbst mit quadratischer Ergänzung, mehr habe ich auch nicht getan!
> > Dann substituierst du [mm]u = E-(\alpha+v)/2[/mm]:
> >
> > [mm]\integral_{-(\alpha-v)/2}^{+(\alpha-v)/2} \frac{du}{\sqrt{-u^2 + (\alpha-v)^2/4}}
= \arcsin \bruch{2u}{\alpha-v} \Bigr|_{-(\alpha-v)/2}^{+(\alpha-v)/2}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
warum ist folgende Überlegung eigentlich nicht richtig (bzw. nicht die von der aufgabe gewollte lösung?):
Gegeben sei laut Aufgabe:
[mm] \integral_{0}^{T}{dt}= [/mm] T(E) = [mm] 2\sqrt{\frac{m}{2}}\integral_{x_1}^{x_2}{\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}}}
[/mm]
Es folgt:
dt = [mm] \sqrt{\frac{m}{2}}\frac{dx}{\sqrt{E-V(x)}}
[/mm]
<=>
[mm] \sqrt{E-V(x)} [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{m}{2}} \frac{dx}{dt}
[/mm]
<=>
E-V(x) = [mm] \frac{m}{2}\left( \frac{dx}{dt} \right)^2
[/mm]
V(x) = E - [mm] \frac{m}{2}\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 [/mm] = E - [mm] \frac{m}{2}v^2
[/mm]
Gruß,
Rutzel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Fr 10.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ihr habt den energiesatz benutzt um T(E) herzuleiten, jetzt hast du jeden Schritt rueckwaerts gemacht und kommst -oh Wunder- wieder beim energiesatz an!
Deinem Ziel V aus T zu bestimmen bist du doch damit keinen mm naeher gekommen.
Gruss leduart
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