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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mi 06.05.2009 | | Autor: | anna_s |
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Sei [mm] A [/mm] eine [mm] (m \times n) [/mm] Matrix, [mm] m < n [/mm] mit vollem Rang [mm] m [/mm]. Dann ist die Matrix [mm] AA^T [/mm] (wobei [mm] A^T [/mm] die transonierte Matrix bezeichnet) eine [mm] m \times m [/mm] Matrix.
Meine Frage ist, ob diese Matrix [mm] AA^T [/mm] positiv definit ist und ob es dafür einen schlaueren Beweis gibt, als [mm] x^T(AA^T)x [/mm] zu berechnen.
Vielen Dank,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Mi 06.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Im allgemeinen ist $ [mm] AA^T [/mm] $ nicht positiv definit, sondern nur positiv semidefinit:
es ist $ [mm] x^T(AA^T)x [/mm] = [mm] ||A^Tx||^2 \ge [/mm] 0 $ für jedes x
Ist also $A^Tx = 0$ und x [mm] \not= [/mm] 0, so ist $ [mm] x^T(AA^T)x [/mm] = 0$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mi 06.05.2009 | | Autor: | anna_s |
Danke für deine Antwort!
Wenn ich das richtig sehe, hast du gar nicht benutzt, dass [mm] AA^T [/mm] vollen Rang hat, sondern deine Antwort ist für eine beliebige Matrix [mm] A [/mm] gültig. Könnte es sein, dass man mit dieser zusätzlichen Angabe doch die Positive Definitheit oder zumindest die Invertierbarkeit erhält?
Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mi 06.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort!
> Wenn ich das richtig sehe, hast du gar nicht benutzt, dass
> [mm]AA^T[/mm] vollen Rang hat, sondern deine Antwort ist für eine
> beliebige Matrix [mm]A[/mm] gültig. Könnte es sein, dass man mit
> dieser zusätzlichen Angabe doch die Positive Definitheit
> oder zumindest die Invertierbarkeit erhält?
>
> Grüße,
> Anna
Du hast recht, dass [mm]AA^T[/mm] vollen Rang hat, hatte ich überlesen. In diesem Fall ist [mm]AA^T[/mm] positiv definit.
FRED
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