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| Aufgabe | Zur Bestimmung der Position P = (px |py) eines Roboters werden in der Ebene mehrere Landmarken verwendet zu denen der Abstand di gemessen werden kann. Die Position der Landmarken Li = [mm] (li_x|li_y) [/mm] sei bekannt.
1) Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem es möglich ist, die Position des Roboters zu bestimmen.
2) Um Messungenauigkeiten auszugleichen soll die Methode der kleinsten Quadrate angewendet werden. Formen Sie das Gleichungssystem entsprechend um. |
Hallo,
es geht um die angegebene Aufgabenstellung. Leider komme ich hier nicht weiter.
Zu 1) hab ich mir folgendes überlegt:
Ich brauche mindestens 3 Landmarken um die Position zu bestimmen. Zu jeder Landmarke Li erstelle ich eine Kreisgleichung :
[mm] d_i^2 [/mm] = [mm] (p_x [/mm] - [mm] l_{ix})^2 [/mm] + [mm] (p_y-l_{iy})^2
[/mm]
Daraus ergibt sich folgedes Gleichungssystem:
[mm] \vektor{d_1^2 \\ d_2^2 \\d_3^2} [/mm] = [mm] \vektor{p_x^2\\ p_x^2\\p_x^2} [/mm] + [mm] \vektor{p_y^2 \\ p_y^2 \\p_y^2 }- 2*\pmat{ l_{1x} & l_{1y} \\ l_{2x} & l_{2y} \\ l_{3x} & l_{3y} }\vektor{p_x \\ p_y}
[/mm]
Kann man das so machen oder wie genau gehe ich vor?
Wenn ich das noch weiter umforme (1-2. Zeile und 2-3. Zeile) komm ich auf:
[mm] \vektor{d_1^2 - d_2^2 \\d_2^2 - d_3^2} [/mm] = [mm] 2*\pmat{ l_{2x}-l_{1x} & l_{2y}-l_{1y} \\ l_{3x}-l_{2x} & l_{3y}-l_{2y} }\vektor{p_x \\ p_y}
[/mm]
Zu 2) hab ich leider noch gar keinen Ansatz. Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Sa 16.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. sehe ich nicht, wo in deinem ersten GS die [mm] l_{ix}^2 [/mm] und [mm] l_{iy}^2 [/mm] geblieben sind.
2. wenn die Meßpunkte nicht exakt sind, sollten mehrere lösungen für p rauskommen! 3 Kreise schneiden sich in insgesamt 6 Punkten!
3. deshalb musst du für die methode der kleinsten quadrate möglichst viele Messpunkte heranziehen. dann noch wissen ob die [mm] d_i [/mm] oder die [mm] l_i [/mm] ungenau sind oder alle.
gruss leduart
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zuerst mal danke für die antwort :)
zu 1) ja, hab die bei beiden GLeichungssystemen irgendwo verloren beim abtippen :P
Also das erste Gleichungssystem muss so aussehen:
[mm] \vektor{d_1^2 \\ d_2^2 \\d_3^2} [/mm] = [mm] \vektor{p_x^2\\ p_x^2\\p_x^2} [/mm] + [mm] \vektor{p_y^2 \\ p_y^2 \\p_y^2 }- 2*\pmat{ l_{1x} & l_{1y} \\ l_{2x} & l_{2y} \\ l_{3x} & l_{3y} }\vektor{p_x \\ p_y} [/mm] + [mm] \vektor{l_{x1}^2 + l_{y1}^2\\ l_{x2}^2 + l_{y2}^2 \\l_{x3}^2 + l_{y3}^2} [/mm]
Das zweite Gleichungssystem dann :
[mm] \vektor{d_1^2 - d_2^2 \\d_2^2 - d_3^2} [/mm] = [mm] 2*\pmat{ l_{2x}-l_{1x} & l_{2y}-l_{1y} \\ l_{3x}-l_{2x} & l_{3y}-l_{2y} }\vektor{p_x \\ p_y} +\vektor{l_{x1}^2 + l_{y1}^2 - l_{x2}^2 - l_{y2}^2 \\l_{x2}^2 + l_{y2}^2 - l_{x3}^2 - l_{y3}^2} [/mm]
zu 3) Wir können davon ausgehen, dass die Distanzen ungenau sind, aber die Positionen der Landmarken Li genau.
zu 2+3) Wie wende die Methode der kleinsten Quadrate auf mein Gleichungssystem denn genau an?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 18.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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