Portmanteau Beispiel < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mi 20.05.2015 | | Autor: | DerBaum |
Guten Tag liebe Formenmitglieder,
ich habe im Rahmen einer Übungsaufgabe das Portmanteau Theorem beweisen.
Hier ist eine Aussage, dass für einen metrischen Raum [mm] $\Omega$ [/mm] und [mm] $\mu,(\mu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] W'keitsmaße auf [mm] $\mathcal{B}(\Omega)$ [/mm] mit [mm] $\mu_n\to\mu$ [/mm] schwach, d.h. [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\int_\Omega f\, d\mu_n=\int_\Omega f\,d\mu$ [/mm] für alle [mm] $f\in C_b(\Omega)$ [/mm] für jedes offene [mm] $A\subset \Omega$ [/mm] gilt: [mm] $\mu(A)\leq\liminf\limits_{n\to\infty}\mu_n(A)$.
[/mm]
Nun Frage ich mich, ob es denn ein Beispiel gibt, in dem strikt < gilt?
Vielen Dank und liebe Grüße
DerBaum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mi 20.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DerBaum!
Das ist eine Frage, die davon zeugt, dass du gut mitdenkst! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Hier ist eine Aussage, dass für einen metrischen Raum
> [mm]\Omega[/mm] und [mm]\mu,(\mu_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] W'keitsmaße auf
> [mm]\mathcal{B}(\Omega)[/mm] mit [mm]\mu_n\to\mu[/mm] schwach, d.h.
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\int_\Omega f\, d\mu_n=\int_\Omega f\,d\mu[/mm]
> für alle [mm]f\in C_b(\Omega)[/mm] für jedes offene [mm]A\subset \Omega[/mm]
> gilt: [mm]\mu(A)\leq\liminf\limits_{n\to\infty}\mu_n(A)[/mm].
> Nun Frage ich mich, ob es denn ein Beispiel gibt, in dem
> strikt < gilt?
Ja.
Betrachte etwa [mm] $\Omega=\IR$ [/mm] mit der gewöhnlichen Metrik, [mm] $\mu_n$ [/mm] jeweils das Dirac-Maß im Punkte [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] das Dirac-Maß im Punkte $0$ und A das Intervall [mm] $(0,\infty)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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