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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Do 11.10.2007 | | Autor: | Kyle |
| Aufgabe | | Gegeben sind zwei teilerfremde Polynome p(X,Y) und q(X,Y) mit algebraischen Koeffizienten. Nun finde ich wiederum Polynome r(X,Y) und s(X,Y), so dass rp+sq ein Polynom nur in X ist. |
Warum geht das? Und vor allem, wie geht das? Gibt es da einen Algorithmus? Kann ich Abschätzungen für den Grad und die Koeffizienten dieses Polynoms angeben (würde wohl aus dem Algorithmus folgen)?
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Unter der Adresse http://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus
findest du eine Anleitung, wie man mit Hilfe des Euklidschen Algorithmus zu gegebenem a und b die Gleichung [mm] \operatorname{ggT}(a,b) [/mm] = s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b
löst.
Mit Polynomen geht das ganz genau so: die Zahlen-Division wird durch die Polynomdivision ersetzt.
Wenn nun die Polynome teilerfremd sind, kann man x einfach als festen Parameter betrachten. Dann enthalten die P. noch x, aber nur y wird als Variable angesehen. Durch P.-Division mit y und dem o.a. Verfahren lässt sich dann die Gleichung ggt = r(y)p(y) + s(y)q(y) lösen. Dabei ist der ggt. dann eine einfache Konstante, d.h. hier: unabhängig von y. Alle in ggt., r, p, s und q vorkommenden "Konstanten" können aber noch ein x - das wir bei der Rechnung ja als konstant angesehen haben - enthalten. Fassen wir also nach (!) der Berechnung x wieder als Variable auf, so enthält ggt. evtl. x als Variable, und es ergibt sich:
f(x)=r(x,y)p(x,y) + s(x,y)q(x,y).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Kyle |
Danke erstmal, ich muss noch drüber nachdenken, warum das alles geht, aber ich glaube, das sollte reichen 
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