Polynomring K[X], Primpolynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei K Körper. Zu zeigen:
(i) In K[X] gibt es unendlich viele Primpolynome.
(ii) Falls jedes nicht-konstante Polynom aus K[X] mind. eine Nullstelle in K hat, so besteht K aus unendlich vielen Elementen. |
Hallo,
zu (i):
Zunächst ist K[X] Hauptidealring, da K Körper, und damit stimmen irreduzible Polynome und Primpolynome überein.
Angenommen K[X] enthält nur endlich viele Primpolynome [mm] $\{f_1,\dots,f_n\}$. [/mm] Betrachte das Polynom [mm] $f:=f_1*\dots*f_n+1$. [/mm] f ist normiert und aus Gradgründen weder das Nullpolynom noch invertierbar, denn [mm] $K[X]^\times [/mm] = [mm] K^\times$.
[/mm]
[mm] Angenommen$\exists [/mm] i [mm] \in \{1,\dots,n\}: \; f_i\:|\:f \Rightarrow f_i \: [/mm] | [mm] (f-f_1*\ldots*f_n) [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow$ [/mm] Widerspruch, da $deg [mm] \: f_i [/mm] >0$. Damit ist f also selst irreduzibel und prim sowie normiert und somit ist obige Aussage, [mm] $\{f_1,\dots,f_n\}$ [/mm] seien alle normierten Primpolynome, zu einem Widerspruch geführt. Also gibt es unendlich viele Primpolynome.
Zu (ii):
Hier habe ich Probleme: Angenommen K sei endlich mit $K = [mm] \{x_1,\dots,x_n\}$. [/mm] Ich wollte zuerst das Polynom [mm] $f:=\summe_{j=1}^{n}\produkt_{i=1, i\not=j}^{n}(X-x_i)$ [/mm] betrachten und zeigen, dass dieses in K keine Nullstelle hat, damit also K nicht endlich sein kann. Mir ist es jedoch nicht gelungen zu zeigen, dass f nicht-konstant ist, und nur dann darf ich ja anwenden, dass f eine Nullstelle in K haben muss.
Wie kann ich also zeigen, dass f nicht-konstant ist? Oder ist das gar nicht der Fall und ich muss ganz anders an die Sache rangehen?
Vielen Dank für die Hilfe und viele Grüße,
Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mo 03.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei K Körper. Zu zeigen:
> (i) In K[X] gibt es unendlich viele Primpolynome.
> (ii) Falls jedes nicht-konstante Polynom aus K[X] mind.
> eine Nullstelle in K hat, so besteht K aus unendlich vielen
> Elementen.
> Hallo,
>
> zu (i):
> Zunächst ist K[X] Hauptidealring, da K Körper, und damit
> stimmen irreduzible Polynome und Primpolynome überein.
> Angenommen K[X] enthält nur endlich viele Primpolynome
> [mm]\{f_1,\dots,f_n\}[/mm]. Betrachte das Polynom
> [mm]f:=f_1*\dots*f_n+1[/mm]. f ist normiert und aus Gradgründen
> weder das Nullpolynom noch invertierbar, denn [mm]K[X]^\times = K^\times[/mm].
>
> Angenommen[mm]\exists i \in \{1,\dots,n\}: \; f_i\:|\:f \Rightarrow f_i \: | (f-f_1*\ldots*f_n) = 1 \Rightarrow[/mm]
> Widerspruch, da [mm]deg \: f_i >0[/mm]. Damit ist f also selst
> irreduzibel und prim sowie normiert und somit ist obige
> Aussage, [mm]\{f_1,\dots,f_n\}[/mm] seien alle normierten
> Primpolynome, zu einem Widerspruch geführt. Also gibt es
> unendlich viele Primpolynome.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu (ii):
> Hier habe ich Probleme: Angenommen K sei endlich mit [mm]K = \{x_1,\dots,x_n\}[/mm].
> Ich wollte zuerst das Polynom
> [mm]f:=\summe_{j=1}^{n}\produkt_{i=1, i\not=j}^{n}(X-x_i)[/mm]
> betrachten und zeigen, dass dieses in K keine Nullstelle
> hat, damit also K nicht endlich sein kann. Mir ist es
> jedoch nicht gelungen zu zeigen, dass f nicht-konstant ist,
> und nur dann darf ich ja anwenden, dass f eine Nullstelle
> in K haben muss.
> Wie kann ich also zeigen, dass f nicht-konstant ist?
Gar nicht. Erstens ist [mm] $\deg [/mm] f < n$. Zweitens hat $f(x)$ fuer jedes $x [mm] \in [/mm] K$ den gleichen Wert (der Wert ist das Produkt aller Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$ aus $K$, oder minus das, oder so, musst du selber nachrechnen wenn du es genau wissen willst). Daraus folgt, dass $g(x) := f(x) - [mm] f(x_1)$ [/mm] ein Polynom vom Grad $< n$ ist, welches $n$ Nullstellen hat, und somit das Nullpolynom ist. Damit ist $f$ ein konstantes Polynom.
> Oder
> ist das gar nicht der Fall und ich muss ganz anders an die
> Sache rangehen?
Nimm doch einfach das Polynom $f := [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (X - [mm] x_i) [/mm] + 1$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, danke für die Antwort!
>
> Nimm doch einfach das Polynom [mm]f := \prod_{i=1}^n (X - x_i) + 1[/mm].
Aber das ist doch auch konstant in K, da $f(x)=1 [mm] \; \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K$. Da kann ich dann doch auch nicht verwenden, dass es eine Nullstelle hat. Oder habe ich da etwas falsch verstanden.
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mo 03.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, danke für die Antwort!
> >
> > Nimm doch einfach das Polynom [mm]f := \prod_{i=1}^n (X - x_i) + 1[/mm].
>
> Aber das ist doch auch konstant in K, da [mm]f(x)=1 \; \forall x \in K[/mm].
Die Polynomfunktion ist konstant, das Polynom aber nicht! Es hat Grad $|K|$!
> Da kann ich dann doch auch nicht verwenden, dass es eine
> Nullstelle hat. Oder habe ich da etwas falsch verstanden.
Es hat eben keine Nullstelle in $K$, ist jedoch nicht konstant.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Da habe ich den Begriff konstant falsch verstanden. Ein Polynom ist also nur dann konstant, wenn sein Grad 0 ist, und nicht, wenn überall den gleichen Wert annimmt. Vielen Dank für die Klarstellung :)
LG Lippel
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