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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Kapungen |
| Aufgabe | Hallo,
wir behandeln gerade die Polynomialverteilung und ich würde gerne verstehen wie man darauf kommt. Wäre schön wenn ihr mir die Hinleitung sagen könntet, oder ideen wie ich selber drauf komme.
Danke
Kapungen |
Hallo,
wir behandeln gerade die Polynomialverteilung und ich würde gerne verstehen wie man darauf kommt. Wäre schön wenn ihr mir die Hinleitung sagen könntet, oder ideen wie ich selber drauf komme.
Danke
Kapungen
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Hallo,
> wir behandeln gerade die Polynomialverteilung und ich
> würde gerne verstehen wie man darauf kommt. Wäre schön
> wenn ihr mir die Hinleitung sagen könntet, oder ideen wie
> ich selber drauf komme.
Bei der Polynomialverteilung (auch: Multinomialverteilung) handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Man hat ein Experiment vorliegen, bei welchem k verschiedene Ausgänge möglich sind, jeweils mit Wahrscheinlichkeiten [mm] p_1,...,p_k.
[/mm]
Das Experiment wird nun n-mal durchgeführt. Die Multinomialverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit [mm] $n_1$-mal [/mm] Ausgang 1, ..., [mm] $n_k$-mal [/mm] Ausgang k beim Experiment eintritt. (Es muss [mm] $n_1 [/mm] + ... [mm] +n_k [/mm] = n$ gelten).
Die Formel lautet:
[mm] $P(n_1,...,n_k) [/mm] = [mm] \frac{n!}{n_1! * ... * n_k !} [/mm] * [mm] p_1^{n_1} [/mm] * ... + [mm] p_{k}^{n_k}$
[/mm]
Man kommt auf diese Formel durch folgende Überlegung:
Die [mm] n_1 [/mm] Ausgänge1 können durch [mm] $\vektor{n\\n_1}$ [/mm] verschiedene Möglichkeiten auf die n durchgeführten Versuche verteilt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] n_1 [/mm] -mal Ausgang1 eintritt, ist [mm] $p_1^{n_1}$.
[/mm]
Die [mm] n_2 [/mm] Ausgänge2 können durch [mm] $\vektor{n-n_1\\n_2}$ [/mm] verschiedene Möglichkeiten auf die noch verbleibenden [mm] n-n_1 [/mm] durchgeführten Versuche verteilt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] n_2 [/mm] -mal Ausgang1 eintritt, ist [mm] $p_2^{n_2}$.
[/mm]
usw.
Wenn man nun alles zusammenmultipliziert:
[mm] $\left(\vektor{n\\n_1}*p_1^{n_1}\right) [/mm] * [mm] \left(\vektor{n-n_1\\n_2}*p_2^{n_2}\right) [/mm] * ...$
kommt man auf die obige Multinomialverteilung.
Viele Grüße,
Stefan
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