www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionen" - Polynomfunktionen
Polynomfunktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Polynomfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Di 22.01.2008
Autor: mareike-f

Aufgabe
Sei [mm]n \in \IN[/mm] und seien [mm]\lambda_1,...,\lambda_n[/mm] paarweise verschiedene reelle Zahlen. Seien [mm]p_1,...p_n : \IR \to \IR[/mm] Polynomfunktion mit:
[mm]\summe_{j=1}^{n} p_j(x)e^{\lambda_j x} = 0[/mm] für alle [mm]x\in \IR[/mm].
Zeigen Sie:[mm]p_j=0[/mm] für alle [mm]j \in \underline{n}[/mm]

Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.

Hi,
ich sitze gerade an obriger Aufgabe.
Ich hatte die Idee diese mit Induktion nach n zu beweisen.
Bzw. da j aus n und somit aus N kommt wollte ich nach j eine Induktion durchführen.
Allerdings bekomm ich noch nicht mal den Anfang hin.

Ist es denn dabei relevant das die Polynomfunktion von [mm]\IR \to \IR[/mm] abbilde? Ich setze doch nur positive Zahlen ein.

Grüße,
Mareike

        
Bezug
Polynomfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:04 Mi 23.01.2008
Autor: Somebody


> Sei [mm]n \in \IN[/mm] und seien [mm]\lambda_1,...,\lambda_n[/mm] paarweise verschiedene reelle Zahlen. Seien [mm]p_1,...p_n : \IR \to \IR[/mm] Polynomfunktion mit:
> [mm]\summe_{j=1}^{n} p_j(x)e^{\lambda_j x} = 0[/mm] für alle [mm]x\in \IR[/mm].
>  Zeigen Sie: [mm] p_j=0[/mm] für alle [mm]j \in \underline{n}[/mm] Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.

> ich sitze gerade an obriger Aufgabe.
> Ich hatte die Idee diese mit Induktion nach n zu beweisen. Bzw. da j aus n und somit aus N kommt wollte ich nach j eine Induktion durchführen.
> Allerdings bekomm ich noch nicht mal den Anfang hin.

Der Anfang ist trivial: denn gilt für alle [mm] $x\in \IR$, [/mm] dass [mm] $p_1(x)e^{\lambda_1 x}=0$ [/mm] ist, so kann man, wegen [mm] $e^{\lambda_1 x}\neq [/mm] 0$ (für alle [mm] $x\in \IR$) [/mm] einfach diese Gleichung beidseitig durch [mm] $e^{\lambda_1x}$ [/mm] dividieren und erhält: [mm] $p_1(x)=0$ [/mm] für alle [mm] $x\in \IR$. [/mm] Dies ist aber nur möglich, wenn [mm] $p_1=0$, [/mm] d.h. das Nullpolynom ist.

> Ist es denn dabei relevant das die Polynomfunktion von [mm]\IR \to \IR[/mm] abbilde? Ich setze doch nur positive Zahlen ein.

Ich sehe nicht, was eine Einschränkung auf $x>0$ zur Lösung dieser Aufgabe beintragen sollte.

Bezug
        
Bezug
Polynomfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:19 Mi 23.01.2008
Autor: Somebody


> Sei [mm]n \in \IN[/mm] und seien [mm]\lambda_1,...,\lambda_n[/mm] paarweise verschiedene reelle Zahlen. Seien [mm] [mmp_1,...p_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR[/mm] [/mm] Polynomfunktion mit:
> [mm]\summe_{j=1}^{n} p_j(x)e^{\lambda_j x} = 0[/mm] für alle [mm]x\in \IR[/mm].
>  Zeigen Sie:[mm] p_j=0[/mm] für alle [mm]j \in \underline{n}[/mm]

> ich sitze gerade an obriger Aufgabe.
> Ich hatte die Idee diese mit Induktion nach n zu beweisen.

Ich denke, es geht auch ohne Induktion. Da die [mm] $\lambda_j$ [/mm] paarweise verschieden sind, dürfen wir (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) annehmen, dass gerade [mm] $\lambda_1=\max\{\lambda_j \mid j=1\ldots n\}$ [/mm] ist. Dann folgt aus [mm] $\sum_{j=1}^np_j(x)e^{\lambda_j x}=0$, [/mm] für alle [mm] $x\in \IR$, [/mm] durch Auflösen nach [mm] $p_1(x)$, [/mm] dass für alle $x$ gelten muss

[mm]p_1(x)=-\sum_{j=2}^n p_j(x)e^{(\lambda_j-\lambda_1)x}[/mm]

da aber [mm] $\lambda_j-\lambda_1<0$ [/mm] für alle $j>1$, folgt

[mm]\lim_{x\rightarrow \infty}p_1(x)=-\lim_{x\rightarrow\infty}\sum_{j=2}^n p_j(x)e^{(\lambda_j-\lambda_1)x}=0[/mm]

Für eine Polynomfunktion [mm] $p_1(x)$ [/mm] ist dies nur möglich, wenn [mm] $p_1=0$, [/mm] d.h. die Nullfunktion ist.
Diese Überlegung gilt auch im Falle $n=1$, da dann die Summe [mm] $\sum_{j=2}^1 \ldots$ [/mm] per Definition gleich $0$ ist.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]