Polynome und Kongruenzen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Do 16.09.2010 | | Autor: | Papewaio |
| Aufgabe | Satz:
Voraussetzungen:
Sei n [mm] \in \IN, a_{j} \in \IZ [/mm] für alle j [mm] \in \IN_{0} [/mm] mit j [mm] \le [/mm] n und p [mm] \in \IP [/mm] mit [mm] (a_{n},p)=1.
[/mm]
f = [mm] \begin{cases} \IC \to \IC, \\ x \mapsto f(x):=\summe_{j=1}^{n}a_{j}*x^j \end{cases}
[/mm]
das Polynom mit Koeffizientenfolge [mm] (a_{j})_{j=0}^n \subseteq \IZ.
[/mm]
Sei [mm] \mathcal{R} \subseteq \IZ [/mm] ein vollständiges Restsystem modulo p.
Behauptung:
Dann ist
#{x [mm] \in \mathcal{R}; [/mm] f(x) [mm] \equiv [/mm] 0 mod p} [mm] \le [/mm] n |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Mir ist die Aussage des Satzes klar. Ein Polynom modulo p hat hächsten grad (f) viele Lösungen.
Ich habe den Beweis auch soweit verstanden, bloß bei einer Sache hakt es dann doch: Wieso gilt dieser Satz nur für Primzahlen und nicht für zusammengesetze Zahlen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Do 16.09.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Satz:
> Voraussetzungen:
> Sei n [mm]\in \IN, a_{j} \in \IZ[/mm] für alle j [mm]\in \IN_{0}[/mm] mit j
> [mm]\le[/mm] n und p [mm]\in \IP[/mm] mit [mm](a_{n},p)=1.[/mm]
>
> f = [mm]\begin{cases} \IC \to \IC, \\ x \mapsto f(x):=\summe_{j=1}^{n}a_{j}*x^j \end{cases}[/mm]
>
> das Polynom mit Koeffizientenfolge [mm](a_{j})_{j=0}^n \subseteq \IZ.[/mm]
>
> Sei [mm]\mathcal{R} \subseteq \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ein vollständiges Restsystem
> modulo p.
>
> Behauptung:
> Dann ist
> #{x [mm]\in \mathcal{R};[/mm] f(x) [mm]\equiv[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 mod p} [mm]\le[/mm] n
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Mir ist die Aussage des Satzes klar. Ein Polynom modulo p
> hat hächsten grad (f) viele Lösungen.
> Ich habe den Beweis auch soweit verstanden, bloß bei
> einer Sache hakt es dann doch: Wieso gilt dieser Satz nur
> für Primzahlen und nicht für zusammengesetze Zahlen?
Weil der Beweis an irgendeiner Stelle benutzen wird, daß der Restklassenring ein Integritätsring ist
Mod 8 hat [mm] x^2 [/mm] - 1 z. B. 4 Nullstellen. Nach Binomi ist [mm] x^2 [/mm] - 1 = (x+1)(x-1), und das kann 0 sein, ohne daß einer der Faktoren 0 ist: 4$*$2 = 0.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Do 16.09.2010 | | Autor: | Papewaio |
Hallo Dieter,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Leider haben wir in unserer Vorlesung nicht Integritätsringe definiert. Die Vorlesung beschränkte sich "nur" auf die "Elementare Zahlentheorie", Algebra wurde weitestgehend ausgepaart.
Deshalb ist deine Antwort für mich leider nicht ganz nachvollziehbar.
Den Teil unten mod 8 verstehe ich und bei [mm] x^2-1 \equiv [/mm] 0 mod 8 sehe ich auch, dass es mehr Lösungen gibt als der Grad des Polynoms.
Beim Argument danach, dass (x-1)*(x+1) null sein kann, ohne das einer der Faktoren 0 ist, ist es mir zwar klar, dass das sein kann, aber nicht, was genau du damit zeigen willst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Fr 17.09.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
Deine Frage war doch: Wieso gilt dieser Satz nur für Primzahlen und nicht für zusammengesetze Zahlen?
Wenn n = p*m mit einer Primzahl p und m > 1 ist, dann hat das Polynom [mm] m(X^p [/mm] - X) alle Reste mod n als Nullstellen, weil die Klammer stets durch p teilbar ist. Der Grad ist p, es gibt n Reste, und es ist n > p. Also kann der Satz für zusammengesetzte Zahlen nicht richtig sein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
vielen Dank für deine Erklärung. So ganz durchgestiegen bin ich leider immer noch nicht.
Edit:
Nach langem Überlegen klar geworden 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 19.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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