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| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper und [mm] $f\in [/mm] K[X]$ mit [mm] $2\leq deg(f)\leq [/mm] 3$.
Zeigen Sie: $f$ ist reduzibel, genau dann wenn $f$ eine Nullstelle in $K$ hat.
Gilt die Aussage auch für beliebigen Grad von $f$? |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Mein Beweis geht wie folgt:
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Sei $f$ reduzibel, dann ist $f=gh$, für [mm] $g,h\in [/mm] K[X]$ und $deg(g)>0$ sowie $deg(h)>0$.
Es ist $deg(f)=deg(gh)=deg(g)+deg(h)$, dann ist $deg(g)=1$, oder $deg(h)=1$.
Ohne Einschränkung $deg(g)=1$, dann ist $g(X)=X-a$, also
$f(X)=(X-a)h$ und $f(a)=0$, also ist $a$ eine Nullstelle von $f$.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Sei $a$ Nullstelle von $f$ in $K$, dann gilt (X-a)|f, also $f=(X-a)q$, wobei $deg(q)>0$, also ist $f$ reduzibel.
Nein, die Aussage gilt nicht für beliebigen Grad von $f$.
Betrachte etwa das Polynom
[mm] $f(X)=(X^2+1)^2\in\mathbb{R}[X]$
[/mm]
Offensichtlich ist $f$ reduzibel, aber $f$ hat keine Nullstelle in [mm] $\mathbb{R}$.
[/mm]
Geht der Beweis so in Ordnung?
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Di 04.10.2016 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]f\in K[X][/mm] mit [mm]2\leq deg(f)\leq 3[/mm].
>
> Zeigen Sie: [mm]f[/mm] ist reduzibel, genau dann wenn [mm]f[/mm] eine
> Nullstelle in [mm]K[/mm] hat.
>
> Gilt die Aussage auch für beliebigen Grad von [mm]f[/mm]?
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Mein Beweis geht wie folgt:
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
>
> Sei [mm]f[/mm] reduzibel, dann ist [mm]f=gh[/mm], für [mm]g,h\in K[X][/mm] und
> [mm]deg(g)>0[/mm] sowie [mm]deg(h)>0[/mm].
>
> Es ist [mm]deg(f)=deg(gh)=deg(g)+deg(h)[/mm], dann ist [mm]deg(g)=1[/mm],
> oder [mm]deg(h)=1[/mm].
> Ohne Einschränkung [mm]deg(g)=1[/mm], dann ist [mm]g(X)=X-a[/mm], also
>
Ein klassischer Fehler: es folgt $g=cX-a$ mit [mm] $c\neq [/mm] 0$.
> [mm]f(X)=(X-a)h[/mm] und [mm]f(a)=0[/mm], also ist [mm]a[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm].
>
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>
> Sei [mm]a[/mm] Nullstelle von [mm]f[/mm] in [mm]K[/mm], dann gilt (X-a)|f, also
> [mm]f=(X-a)q[/mm], wobei [mm]deg(q)>0[/mm], also ist [mm]f[/mm] reduzibel.
>
Hier könnte man die Aussage $deg(q)>0$ noch ähnlich begründen wie oben.
>
> Nein, die Aussage gilt nicht für beliebigen Grad von [mm]f[/mm].
> Betrachte etwa das Polynom
>
> [mm]f(X)=(X^2+1)^2\in\mathbb{R}[X][/mm]
>
> Offensichtlich ist [mm]f[/mm] reduzibel, aber [mm]f[/mm] hat keine Nullstelle
> in [mm]\mathbb{R}[/mm].
>
>
> Geht der Beweis so in Ordnung?
> Vielen Dank im voraus.
Ich finde, das ist in Ordnung.
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