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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Chrism91 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung f: [mm] Polynomraum_{2} \to Polynomraum_{2}, f(p)(z)=p(2)z^{2}+p(1)z [/mm] und [mm] \delta=(1,x,x^2) [/mm] der Standardbasis des Polynomraums [mm] Polynomraum_{2}
[/mm]
1) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Standardbasis [mm] \delta.
[/mm]
2) Bestimmen sie alle Polynome p [mm] \in Polynomraum_2, [/mm] die durch f auf das Nullpolynom abgebildet werden. |
Als erstes habe ich die Loesungen fuer die einzelnen Basen ausgerchnet.
[mm] f(1)=z^{2}+z
[/mm]
[mm] f(z)=2z^{2}+z
[/mm]
[mm] f(z)=4z^{2}+z
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 }
[/mm]
Hier habe ich allerdings meine Verstaendnisprobleme. Wenn ich jetzt A(L,O) loesen will fuer 2), muesste das meiner Meinung nach wie folgt aussehen:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 } \pmat{ 1 \\ x \\ x^{2} }=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
So wie ich die Matrix aufgestellt habe, stehen die Spalten fuer die die jeweilge Potenz des Polynoms.
Durch die Matrixpolynom stehen aber die Zeilen fuer die Potenzen.
Deswegen wuerde ich die Matrix grundsaetzlich so aufstellen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 }
[/mm]
Ich kenne mich mit Polynomrauemen nur schlecht aus, auch mit Polynomen selbst habe ich noch nicht viel gearbeitet. Wenn bei Fehlern noch kurze Erklaerungen dazukommen, bin ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruesse,
chrism91
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Mi 04.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Abbildung f: [mm]Polynomraum_{2} \to Polynomraum_{2}, f(p)(z)=p(2)z^{2}+p(1)z[/mm]
> und [mm]\delta=(1,x,x^2)[/mm] der Standardbasis des Polynomraums
> [mm]Polynomraum_{2}[/mm]
> 1) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix von f bzgl. der
> Standardbasis [mm]\delta.[/mm]
> 2) Bestimmen sie alle Polynome p [mm]\in Polynomraum_2,[/mm] die
> durch f auf das Nullpolynom abgebildet werden.
> Als erstes habe ich die Loesungen fuer die einzelnen Basen
> ausgerchnet.
> [mm]f(1)=z^{2}+z[/mm]
> [mm]f(z)=2z^{2}+z[/mm]
> [mm]f(z)=4z^{2}+z[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 }[/mm]
Das stimmt.
>
> Hier habe ich allerdings meine Verstaendnisprobleme. Wenn
> ich jetzt A(L,O) loesen will fuer 2), muesste das meiner
> Meinung nach wie folgt aussehen:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 } \pmat{ 1 \\ x \\ x^{2} }=\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
Nein !
Sei [mm] p(z)=az^2+bz+c. [/mm] Dann:
f(p)=0 [mm] \gdw p(2)z^2+p(1)z= [/mm] 0 für alle z [mm] \gdw [/mm] p(2)=0=p(1) [mm] \gdw [/mm] a+b+c=0 und 4a+2b+c=0
FRED
>
> So wie ich die Matrix aufgestellt habe, stehen die Spalten
> fuer die die jeweilge Potenz des Polynoms.
> Durch die Matrixpolynom stehen aber die Zeilen fuer die
> Potenzen.
> Deswegen wuerde ich die Matrix grundsaetzlich so
> aufstellen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Ich kenne mich mit Polynomrauemen nur schlecht aus, auch
> mit Polynomen selbst habe ich noch nicht viel gearbeitet.
> Wenn bei Fehlern noch kurze Erklaerungen dazukommen, bin
> ich sehr dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruesse,
> chrism91
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Den Loesungsweg habe ich verstanden. Mir ist aufgefallen das die Ergebnisse auch in der Polynomabbildung enthalten ist.
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 } [/mm]
Die einzelnen Spalten stehen fuer die Standardbasen [mm] (1,x,x^{2}), [/mm] die erste Zeile ist Null da es kein Polynom mit p(n) , n [mm] \in \IR [/mm] gibt, die zweite Zeile repraesentiert das Polynom p(1)z, die letzte Zeile das Polynom [mm] p(2)z^{2}.
[/mm]
Sind diese Gegebenheiten gruendsaetzlich in der Abbildung enthalten?
Damit koennte ich dann auch die Nullpolynome aus der Abbildung ablesen.
chrism91
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 06.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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