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| Aufgabe | Sei f(X) [mm] \in \IR[X] [/mm] ein nicht konstantes reelles polynom.
i) sei z [mm] \in \IC: [/mm] Zeigen Sie, dass g(X)= (X-z)(X- [mm] \overline{z}) [/mm] nach dem Ausmultiplizieren ein Polynom in [mm] \IR[X] [/mm] liefert
ii) zeigen Sie, dass für alle z [mm] \in \IC [/mm] stets f(z)=0 [mm] \gdw f(\overline{z}) [/mm] =0 gilt
iii) sei z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \IR [/mm] eine nicht-reelle Nullstelle von f. folgern Sie aus i) und ii), dass das polynom g(X) aus i) ein teiler von f(X) im Ring [mm] \IR[X] [/mm] ist |
Also i) und ii) habe ich bereits. (Erg. i): [mm] g(X)=x^{2}-2aX+a^{2}+b^{2} [/mm] mit a,b aus [mm] \IR.
[/mm]
Nun hakts bei der iii. Ich weiß jetzt nicht genau wie ich zeigen soll, dass g(x) schon ein Teiler von f ist. g müsste doch dann ein linearfaktor von f sein oder, nach dem Fundamentalsatz der Algebra? wie zeig ich das? danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Di 19.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Nun hakts bei der iii. Ich weiß jetzt nicht genau wie ich
> zeigen soll, dass g(x) schon ein Teiler von f ist. g
> müsste doch dann ein linearfaktor von f sein oder, nach
> dem Fundamentalsatz der Algebra? wie zeig ich das? danke
Nun, in einem Zerfällungskörper von f (hier also [m]\IC[/m]) zerfällt f in lauter Linearfaktoren. Mit der Nullstelle z ist auch das Konjugierte eine, man erhält also eine Gleichung von der Form [m]f=h*g[/m], wobei h erstmal in [m]\IC[X][/m] ist. Jetzt musst du dir klar machen (Koeffizientenvergleich, Konjugation), dass aus [m]f,g\in \IR[X][/m] auch [m]h \in\IR[X][/m] gilt.
SEcki
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