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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Millili |
| Aufgabe | Es sei [mm] P_{n}=\{ p \in \IC[x] : grad(p)\le n \} [/mm] und [mm] E_{a}: P_{n}\to \IC, p\mapsto [/mm] p(a) für a [mm] \in \IC [/mm] .
a) Zeigen Sie , dass für jedes [mm] a_{0} \in\IC [/mm] stets [mm] E_{a0} \in P_n^{\*} [/mm] (Dualraum) gilt.
b) Seien nun [mm] a_{0}, .....,a_{n} \in \IC [/mm] paarweise verschieden. Zeigen Sie , dass [mm] (E_{a0}, [/mm] ......, [mm] E_{an}) [/mm] linear unabhängig in [mm] P_n^{\*} [/mm] ist.
c) Setze nun [mm] p_{j}:= \produkt_{i \not= j}(x [/mm] - [mm] a_{i} [/mm] )und damit
[mm] L_{j}:= \bruch{p_{j}}{p_{j}(a_{j}}. [/mm]
Zeigen Sie , dass [mm] (L_{0}, [/mm] ...., [mm] L_{n}) \subset P_{n} [/mm] duale Basis zu
( [mm] E_{a0},......., E_{an}) [/mm] ist. |
Hallo, vllt kann mir ja hier jemand helfen:
Erstmal zur
a)
Hier muss ja gezeigt werden, dass [mm] E_{a0} [/mm] eine lineare Abbildung für jedes [mm] a_{0} [/mm] ist.
Ich habe mir jetzt [mm] a_{0} [/mm] und [mm] b_{0} \in \IC [/mm] genommen .
Dann ist:
[mm] E_{a0+b0}(p) [/mm] = p(a+b)=p(a) +p(b) = [mm] E_{a0}+E_{b0}
[/mm]
Das wäre die Addition. Ich bin mir aber nicht sicher, ob das so richtig ist, weil die Polynome aus [mm] \IC [/mm] sind. Bei der Multiplikation , kann ich ja wahrscheinlich auch nicht einfach auf lambda zurückgreifen, oder?
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> Es sei [mm]P_{n}=\{ p \in \IC[x] : grad(p)\le n \}[/mm] und [mm]E_{a}: P_{n}\to \IC, p\mapsto[/mm]
> p(a) für a [mm]\in \IC[/mm] .
>
> a) Zeigen Sie , dass für jedes [mm]a_{0} \in\IC[/mm] stets [mm]E_{a0} \in P_n^{\*}[/mm]
> (Dualraum) gilt.
> b) Seien nun [mm]a_{0}, .....,a_{n} \in \IC[/mm] paarweise
> verschieden. Zeigen Sie , dass [mm](E_{a0},[/mm] ......, [mm]E_{an})[/mm]
> linear unabhängig in [mm]P_n^{\*}[/mm] ist.
> c) Setze nun [mm]p_{j}:= \produkt_{i \not= j}(x[/mm] - [mm]a_{i}[/mm] )und
> damit
> [mm]L_{j}:= \bruch{p_{j}}{p_{j}(a_{j}}.[/mm]
> Zeigen Sie , dass [mm](L_{0},[/mm] ...., [mm]L_{n}) \subset P_{n}[/mm] duale
> Basis zu
> ( [mm]E_{a0},......., E_{an})[/mm] ist.
> Hallo, vllt kann mir ja hier jemand helfen:
>
> Erstmal zur
> a)
>
> Hier muss ja gezeigt werden, dass [mm]E_{a0}[/mm] eine lineare
> Abbildung für jedes [mm]a_{0}[/mm] ist.
Hallo,
genau.
>
> Ich habe mir jetzt [mm]a_{0}[/mm] und [mm]b_{0} \in \IC[/mm] genommen .
> Dann ist:
>
> [mm]E_{a0+b0}(p)[/mm]
Was Du hier tust, ist Unfug.
Du willst doch zeigen, daß jedes [mm] E_{a_0} [/mm] eine Linearform auf [mm] P_n [/mm] ist,
daß also für all p,q [mm] \in P_n [/mm] gilt [mm] E_{a_0}(p+q)=E_{a_0}(p)+E_{a_0}(q) [/mm] und für alle [mm] c\in \IC E_{a_0}(c*p)=c*E_{a_0}(p).
[/mm]
Abgesehen davon würde ja
> p(a+b)=p(a) +p(b)
in den seltensten Fällen stimmen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Millili |
Alles klar, dankeschön:)
Und bei der b) Also da habe ich bis jetzt nur den Ansatz , dass , wenn [mm] a_{0},...a{n} [/mm] paarweise verschieden sind, daraus folgt, dass
[mm] E_{a1} \not= E_a2\not=..........\not=E_an.
[/mm]
Aber, das sagt ja noch lange nicht, dass sie linear unabhängig sein müssen. Es müsste ja weiterhin eine triviale Darstellung der Null geben. Könnte man denn da evtl mit der definition der Dualbasis arbeiten?
Lg, Millili
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> Und bei der b) Also da habe ich bis jetzt nur den Ansatz ,
> dass , wenn [mm]a_{0},...a{n}[/mm] paarweise verschieden sind,
> daraus folgt, dass
>
> [mm]E_{a1} \not= E_a2\not=..........\not=E_an.[/mm]
>
> Aber, das sagt ja noch lange nicht, dass sie linear
> unabhängig sein müssen. Es müsste ja weiterhin eine
> triviale Darstellung der Null geben.
Hä???
Die gibt es immer.
Was mußt Du zeigen, wenn Du zeigen willst, daß $ [mm] (E_{a0}, [/mm] $ ......, $ [mm] E_{an}) [/mm] $ linear unabhängig ist?
> Könnte man denn da
> evtl mit der definition der Dualbasis arbeiten?
Statt dies zu fragen solltest Du es lieber ausprobieren...
Auf jeden Fall könnte man sich v. der unter c) gegebenen dualen Basis ein wenig inspirieren lassen.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:38 So 25.11.2007 | | Autor: | Millili |
Okay ich hab mal versucht die c) zu lösen, damit das mit der Inspiration besser klappt.
1. aus [mm] p_{j}:=\produkt_{i \not=j} [/mm] folgt, also , dass [mm] p_{j} [/mm] aus n- Faktoren besteht die multipliziert werden und für alle i gilt, das i [mm] \not= [/mm] j.
Daraus folgt,:
für [mm] p_{j}(a_{i}) [/mm] gilt, dass :
i) [mm] p_{j}(a_{i} [/mm] ) = 0, wenn i [mm] \not= [/mm] j, da dann ein Faktor [mm] (x-a_{i} [/mm] ) = 0 ist.
ii) [mm] p_{j}(a_{i} \not= [/mm] 0, wenn i = j , wegen der Definition von [mm] p_{j}.
[/mm]
Damit kommen wir zu [mm] L_{j}:= \bruch{p_{j}}{p_{j}(a_{j})}
[/mm]
Um zu zeigen, dass [mm] (L_{0}, .....L_{n}) [/mm] eine duale Basis zu [mm] (E_{a1},.....E_{an}) [/mm] ist
zeige ich :
a) [mm] E_{ai}(l_{j}) [/mm] = 1 für i = j und [mm] E_{ai}(l_{j}) [/mm] = 0 für i [mm] \not= [/mm] j
Das folgt direkt aus i) und ii), da
[mm] E_{ai}(L_{j}) [/mm] = [mm] (\bruch{p_{j}}{p_{j}(a_{j})} (a_{i}).
[/mm]
Da [mm] P_{n}={p \in \IC [x] : grad \le n } [/mm] und [mm] (L_{0},....L{n}) [/mm] reicht es zu zeigen, dass [mm] (L_{0},....L{n}) [/mm] linear unabhängig ist.
Es gelte :
[mm] \summe_{j=0}^{n} c_{j} \* L_{j} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n} c_{j} \* (\bruch{p_{j}}{p_{j}(a_{j})}) [/mm] = 0
Da [mm] \bruch{p_{j}}{p_{j}(a_{j})}\not= [/mm] 0 für alle j, folgt, dass [mm] c_1=c_2=......=c_{n} [/mm] = 0 ist, daraus folgt, [mm] (L_{1},....L_{n}) [/mm] ist linear unabhängig.
Insgesamt, folgt, dass [mm] (L_{1},....L_{n}) [/mm] duale Basis zu [mm] (E_{a1},.....E_{an}) [/mm] ist.
Wäre das soweit richtig?
BEi der b ) bin ich mir leider immer noch nicht sicher, da habe ich:
Sei c [mm] \in \IC:
[/mm]
Es gelte: [mm] \summe_{i=0}^{n} c_{i} \* E_{ai} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} c_{i} p_{i}(a_{i}= [/mm] 0
Aus c) folgt, dass [mm] p_{i}(a_{i} [/mm] ) [mm] \not= [/mm] 0 , folgt, dass [mm] c_{1}=....c_{n} [/mm] = 0 , daraus folgt, dass [mm] (E_{a1},....E_{an}) [/mm] linear unabhängig ist.
LG, Millili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Di 27.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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