Polynome < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Zeige dass durch [mm] \phi_0 [/mm] =1, [mm] \phi_1 [/mm] (t) = - [mm] \frac{1}{\pi} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2\pi r t)}{r} [/mm] und
[mm] \phi_{2m}(t) [/mm] = [mm] (-1)^{m-1} \frac{2}{(2\pi)^{2m}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{cos(2\pi r t)}{r^{2m}} [/mm] (m [mm] \geq [/mm] 1)
[mm] \phi_{2m+1}(t) [/mm] = [mm] (-1)^{m-1} \frac{2}{(2 \pi)^{2m+1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi r t)}{r^{2m+1}} [/mm] (m [mm] \geq [/mm] 1)
eine Folge von Polynomen mit
(i) [mm] \phi_n' [/mm] = [mm] \phi_{n-1} \forall [/mm] n [mm] \geq [/mm] 3
(ii) [mm] \int_{0}^1 \phi_n(t) [/mm] dt = 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \geq [/mm] 1
definiert wird. |
Hallo liebe Mathefreunde,
(i) hab ich so gezeigt:
1. Fall : n ungerade
[mm] \phi_n(t) [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2\pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2\pi r t)}{r^n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi'_n(t) [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^n} \cdot [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] r = [mm] (-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^{n-1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^{n-1}} [/mm] = [mm] \phi_{n-1}(t) [/mm]
2.Fall : n gerade
[mm] \phi_n(t) [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{n-2}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^n} [/mm]
[mm] \Rightarrow \phi'_n [/mm] (t) = [mm] (-1)^{\frac{n-2}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} [/mm] - [mm] \frac{\sin(2 \pi r t)}{r^n} \cdot [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] r = [mm] (-1)^{\frac{n-4}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^{n-1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{sin(2 \pi r t)}{r^{n-1}} [/mm] = [mm] \phi_{n-1}(t) [/mm]
Also alles für n [mm] \geq [/mm] 3. Ist das richtig so?
(ii) Die Funktionen sind ja 1-periodisch, so dass das Integral Null wird, wie kann man das aber korrekt zeigen?
Genügt es die Linearität des Integrals auszunutzen und zu zeigen dass
[mm] \int_0^1 \sin(2 \pi [/mm] r t) dt = [ - [mm] \frac{1}{2 \pi r} \cdot \cos(2 \pi [/mm] r [mm] t)|_0^1 [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi r} [/mm] ( - [mm] \cos(2 \pi [/mm] r) + [mm] \cos(0) [/mm] ) = [mm] \frac{1}{2 \pi r} [/mm] (-1+1) = 0 ??
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Zeige dass durch [mm]\phi_0[/mm] =1, [mm]\phi_1[/mm] (t) = - [mm]\frac{1}{\pi} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2\pi r t)}{r}[/mm]
> und
>
> [mm]\phi_{2m}(t)[/mm] = [mm](-1)^{m-1} \frac{2}{(2\pi)^{2m}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{cos(2\pi r t)}{r^{2m}}[/mm]
> (m [mm]\geq[/mm] 1)
>
> [mm]\phi_{2m+1}(t)[/mm] = [mm](-1)^{m-1} \frac{2}{(2 \pi)^{2m+1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi r t)}{r^{2m+1}}[/mm]
> (m [mm]\geq[/mm] 1)
>
> eine Folge von Polynomen mit
>
> (i) [mm]\phi_n'[/mm] = [mm]\phi_{n-1} \forall[/mm] n [mm]\geq[/mm] 3
>
> (ii) [mm]\int_{0}^1 \phi_n(t)[/mm] dt = 0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\geq[/mm] 1
>
> definiert wird.
> Hallo liebe Mathefreunde,
> (i) hab ich so gezeigt:
>
> 1. Fall : n ungerade
>
> [mm]\phi_n(t)[/mm] = [mm](-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2\pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2\pi r t)}{r^n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi'_n(t)[/mm] = [mm](-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^n} \cdot[/mm]
> 2 [mm]\pi[/mm] r = [mm](-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^{n-1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^{n-1}}[/mm]
> = [mm]\phi_{n-1}(t)[/mm]
>
> 2.Fall : n gerade
>
> [mm]\phi_n(t)[/mm] = [mm](-1)^{\frac{n-2}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi'_n[/mm] (t) = [mm](-1)^{\frac{n-2}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty}[/mm]
> - [mm]\frac{\sin(2 \pi r t)}{r^n} \cdot[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] r =
> [mm](-1)^{\frac{n-4}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^{n-1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{sin(2 \pi r t)}{r^{n-1}}[/mm]
> = [mm]\phi_{n-1}(t)[/mm]
>
> Also alles für n [mm]\geq[/mm] 3. Ist das richtig so?
Sieht gut aus.
Sollst du auch zeigen, dass die Reihen Polynome in t definieren? Das ist mir nicht klar.
> (ii) Die Funktionen sind ja 1-periodisch, so dass das
> Integral Null wird, wie kann man das aber korrekt zeigen?
> Genügt es die Linearität des Integrals auszunutzen und zu
> zeigen dass
>
> [mm]\int_0^1 \sin(2 \pi[/mm] r t) dt = [ - [mm]\frac{1}{2 \pi r} \cdot \cos(2 \pi[/mm]
> r [mm]t)|_0^1[/mm] = [mm]\frac{1}{2 \pi r}[/mm] ( - [mm]\cos(2 \pi[/mm] r) + [mm]\cos(0)[/mm] )
> = [mm]\frac{1}{2 \pi r}[/mm] (-1+1) = 0 ??
Dafür musst du Integration und Summation vertauschen. Das darfst du auf jeden Fall, wenn die Reihe gleichmäßig konvergiert.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Rainer,
danke für deine Hilfe! =)
Der Raum [mm] T_n [/mm] := [mm] \{ \sum_{k=-n}^n a_k e^{2 \pi i k \cdot} :a_k \in \mathb{C} \} [/mm] = [mm] \mbox{span}\{e^{2 \pi ikx} : k=-n,...,n\} [/mm] (wobei man ja auch schreiben kann [mm] e^{2 \pi ikx} [/mm] = [mm] \cos(2 \pi [/mm] kx) + i [mm] \cdot \sin(2 \pi [/mm] kx) )
ist ja der Raum der trigonometrischen Polynome vom Grad [mm] \leq [/mm] n und dazu gehören unsere Polynome [mm] \phi_n [/mm] doch auch, oder wie könnte man sonst zeigen, dass es Polynome in t sind?
Hm, mit der gleichmäßigen Konvergenz hab ich noch troubles. [mm] \phi_1(t) [/mm] soll die Fourierreihe von [mm] \phi(t) [/mm] = t - [mm] \frac{1}{2} [/mm] (t [mm] \in [/mm] [0,1))sein. Ich hab versucht das nachzuweisen in dem ich die Fourierkoeffizienten [mm] c_k [/mm] berechnet hab, doch damit bin ich nicht ans Ziel gekommen.
Würde es auch langen zu zeigen, dass die Fourierreihe auf [a,b] [mm] \subset [/mm] (0,1) gleichmäßig gegen [mm] \phi_1 [/mm] konvergiert?
Und wenn ja, wie kann ich das zeigen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 So 04.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Der Raum [mm]T_n[/mm] := [mm]\{ \sum_{k=-n}^n a_k e^{2 \pi i k \cdot} :a_k \in \mathb{C} \}[/mm]
> = [mm]\mbox{span}\{e^{2 \pi ikx} : k=-n,...,n\}[/mm] (wobei man ja
> auch schreiben kann [mm]e^{2 \pi ikx}[/mm] = [mm]\cos(2 \pi[/mm] kx) + i
> [mm]\cdot \sin(2 \pi[/mm] kx) )
> ist ja der Raum der trigonometrischen Polynome vom Grad
> [mm]\leq[/mm] n und dazu gehören unsere Polynome [mm]\phi_n[/mm] doch auch,
> oder wie könnte man sonst zeigen, dass es Polynome in t
> sind?
Das Problem ist, dass die Summation in der Definition der [mm]\phi_n[/mm] bis [mm]\infty[/mm] geht. Wären das alles endliche Summen, hätten wir kein Problem 
> Hm, mit der gleichmäßigen Konvergenz hab ich noch troubles.
> [mm]\phi_1(t)[/mm] soll die Fourierreihe von [mm]\phi(t)[/mm] = t -
> [mm]\frac{1}{2}[/mm] (t [mm]\in[/mm] [0,1))sein. Ich hab versucht das
> nachzuweisen in dem ich die Fourierkoeffizienten [mm]c_k[/mm]
> berechnet hab, doch damit bin ich nicht ans Ziel gekommen.
[mm]\phi_1(t)[/mm] ist sicher der gemeinste Fall. Die [mm]\phi_n(t)[/mm] für [mm]n>1[/mm] haben eine verallgemeinerte harmonische Reihe als Majorante: du kannst den Betrag von Sinus und Cosinus durch 1 nach oben abschätzen, dann bleibt eine Reihe über [mm] \bruch{1}{r^n}, [/mm] die konvergiert.
Etwas verwirrend ist auch, dass beim Einsetzen von t=0 oder t=1/2 oder t=1 in [mm]\phi_1(t)[/mm] 0 herauskommt, weil alle Zähler 0 sind.
Als Fourierreihe ergibt das schon Sinn: da betrachtet man eine Funktion mit Periode 1, die im Interval [mm][0,1][/mm] die Darstellung [mm]t-\bruch{1}{2}[/mm] hat. Sowas heisst auch Sägezahn. An den Rändern des Intervalls ist die (periodische) Funktion unstetig, dort konvergiert die Fourierreihe gegen den Mittelwert aus rechts- und linksseitigem Grenzwert der Funktion. Der rechtsseitige Grenzwert ist -1/2, der linksseitige 1/2, also kommt an den Rändern 0 heraus.
Die Koeffizienten kommen auch richtig heraus: Zunächst musst du dein Interval linear transformieren, da die übliche Fourierreihe auf einem Intervall der Länge [mm]2\pi[/mm] definiert ist. Dabei verschiebe ich gleich noch den Nullpunkt, damit das Definitionsintervall symmetrisch zum Nullpunkt ist: [mm]\bar t=2\pi(t-1/2) = 2\pi t - \pi[/mm]. Dein Polynom lautet jetzt [mm]\bruch{1}{2\pi}\bar t[/mm] und ist auf dem Interval von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]+\pi[/mm] definiert.
Für die Fourierreihe nimmst du am besten die Darstellung mit den reellen Koeffizienten [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm]: da das Polynom eine ungerade Funktion ist, sind alle Terme mit Cosinus 0: [mm]a_n=0[/mm]. Für die [mm]b_n[/mm] ergibt sich:
[mm]b_n = \bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{+\pi} \bruch{1}{2\pi}\bar t \sin(n \bar t)\, d\bar t = -\bruch{1}{n\pi} (-1)^n [/mm].
Du hast also:
[mm]t - \bruch{1}{2} = \bruch{1}{2\pi}\bar t = -\bruch{1}{\pi}\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{\sin(k \bar t)}{k} \mathop{=}\limits_{\overbrace{{\bar t = 2\pi t - \pi}}} -\bruch{1}{\pi}\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\sin(2\pi k t)}{k}[/mm].
> Würde es auch langen zu zeigen, dass die Fourierreihe auf
> [a,b] [mm]\subset[/mm] (0,1) gleichmäßig gegen [mm]\phi_1[/mm] konvergiert?
> Und wenn ja, wie kann ich das zeigen?
Es ist eine Frage des Konvergenzbegriffes: Für Fourierreihen nimmt man die Konvergenz bezüglich der [mm]L^2[/mm]-Norm; da reicht es, glaube ich, dass eine periodische Funktion (in diesem Fall das Polynom [mm]t-1/2[/mm] auf ihrem Definitionsintervall (einer Periode) stückweise stetig diffbar oder quadratintegrabel ist. Polynome auf endlichen Intervallen sind das ja immer, und Alles ist gut.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mo 05.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> > Das Problem ist, dass die Summation in der Definition der
> > [mm]\phi_n[/mm] bis [mm]\infty[/mm] geht. Wären das alles endliche Summen,
> > hätten wir kein Problem
>
> ops ja, da hätte ich genauer hinschauen sollen. und wie
> können wir das Problem lösen? oder reicht das
> Konvergenz-Argument aus?
Ich denke, das reicht: die Reihen konvergieren bzgl. der [mm]L^2[/mm]-Norm.
> Hm, dann hab ich gleich noch eine Frage zu den Polynomen
> :)
> Angeblich sind die Koeffizienten von [mm]\phi_n[/mm] immer
> rational, wie kann ich das nachvollziehen oder beweisen?
> Die Koeffizienten sind doch [mm]c_n[/mm] = [mm](-1)^{\frac{n-2}{2}} \frac{2}{(2 \pi r)^n}[/mm]
Das habe ich jetzt nicht nachgerechnet, sieht aber plausibel aus. Das sind doch die Koeffizienten für das Polynom [mm]t^n[/mm] auf dem Interval [mm][-\pi,+\pi][/mm], oder? Also ist der Koeffizient von [mm]t^n[/mm] 1.
Dann must du noch eine lineare Transformation machen, um es auf das Intervall [mm][0,1][/mm] abzubilden, also [mm]t^n[/mm] durch [mm](2\pi)^n[/mm] dividieren und um 1/2 verschieben. Dadurch bleiben aber alle Koeffizienten rational.
> bzw muss ich dann wohl auch noch unterscheiden ob n gerade
> oder ungerade ist?
Das ist ein bischen einfacher, weil im einen Fall die [mm]c_n[/mm] reell, im anderen rein imaginär sind.
Viele Grüße
Rainer
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