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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Do 04.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Sei p [mm] \in \IZ [/mm] eine Primzahl, [mm] \mu [/mm] := [mm] e^{\bruch{2 \pi i}{p}} [/mm] = cos [mm] \bruch{2 \pi }{p} [/mm] + i sin [mm] \bruch{2 \pi}{p} \in \IC [/mm] und [mm] \Phi_{p}(X) [/mm] := [mm] \produkt_{j=1}^{p-1} [/mm] (X - [mm] \mu^{j}) \in \IC[X].
[/mm]
Zeige, dass [mm] \Phi_{p}(X) [/mm] (X-1) = [mm] X^{p} [/mm] - 1 ist, dass [mm] \Phi_{p}(X) [/mm] = [mm] \summe_{r=0}^{p-1} X^{r}, [/mm] und dass [mm] \Phi_{p}(X) \in \IQ[X] [/mm] irreduzibel ist. |
Hallo,
ich hab versucht, die Aufgabe zu lösen, aber es kommt bei mir nicht das raus, was rauskommen sollte. Ich weiß, aber nicht, was ich falsch gemacht habe. Ich hoffe daher, dass mir jemand helfen kann.
Zuerst ist ja z.z.: [mm] \Phi_{p}(X) [/mm] (X-1) = [mm] X^{p} [/mm] - 1
Ich hab aber zuerst aber zu dem eine Frage: Gilt [mm] \mu [/mm] = [mm] e^{\bruch{2 \pi i}{p}} [/mm] = [mm] (e^{2 \pi i})^{\bruch{1}{p}} [/mm] = [mm] 1^{\bruch{1}{p}} [/mm] = 1?
Ich hab das einfach mal so angenommen und hier eingesetzt:
[mm] \Phi_{p}(X) [/mm] (X-1) = [mm] \produkt_{j=1}^{p-1} [/mm] (X - [mm] 1^{j}) [/mm] (X-1) = [mm] (X-1)^{p}
[/mm]
Es soll aber [mm] X^{p} [/mm] -1 rauskommen. Irgendwas hab ich falsch gemacht, aber ich weiß nicht genau was. Wo liegt mein Fehler?
Dann soll man ja zeigen, dass [mm] \Phi_{p}(X) [/mm] = [mm] \summe_{r=0}^{p-1} X^{r} [/mm] ist, also dass [mm] \produkt_{j=1}^{p-1} [/mm] (X - [mm] \mu^{j}) [/mm] = [mm] \summe_{r=0}^{p-1} X^{r} [/mm] = 1 + X + [mm] X^{2} [/mm] + ... + [mm] X^{p-1}
[/mm]
Wie kann ich denn das Produkt in die Summe umwandeln?
Bei dem Beweis, dass [mm] \Phi_{p}(X) \in \IQ[X] [/mm] irreduzibel, habe ich leider gar keine Ahnung, wie ich das zeigen soll.
Als Tipp wurde uns gegeben, zuerst folgendes Lemma zu zeigen:
P(X) = [mm] \summe_{i=0}^{m} a_{i} X^{i} [/mm] irreduzibles Polynom in K[X] [mm] \gdw [/mm] P(X+ c) = [mm] \summe_{i=0}^{m} a_{i} (X+c)^{i} [/mm] irreduzibles Polynom für ein c [mm] \in [/mm] K.
Ich hoff, es kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich diese Äquivalenz zeigen kann, und wie das mit dem was ich eigentlich zeigen muss, zusammenhängt.
Danke schonmal für die Hilfe!!
Viele Grüße,
Moe
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Hallo Moe,
> Sei p [mm]\in \IZ[/mm] eine Primzahl, [mm]\mu[/mm] := [mm]e^{\bruch{2 \pi i}{p}}[/mm]
> = cos [mm]\bruch{2 \pi }{p}[/mm] + i sin [mm]\bruch{2 \pi}{p} \in \IC[/mm]
> und [mm]\Phi_{p}(X)[/mm] := [mm]\produkt_{j=1}^{p-1}[/mm] (X - [mm]\mu^{j}) \in \IC[X].[/mm]
>
> Zeige, dass [mm]\Phi_{p}(X)[/mm] (X-1) = [mm]X^{p}[/mm] - 1 ist, dass
> [mm]\Phi_{p}(X)[/mm] = [mm]\summe_{r=0}^{p-1} X^{r},[/mm] und dass
> [mm]\Phi_{p}(X) \in \IQ[X][/mm] irreduzibel ist.
> Hallo,
> ich hab versucht, die Aufgabe zu lösen, aber es kommt bei
> mir nicht das raus, was rauskommen sollte. Ich weiß, aber
> nicht, was ich falsch gemacht habe. Ich hoffe daher, dass
> mir jemand helfen kann.
>
> Zuerst ist ja z.z.: [mm]\Phi_{p}(X)[/mm] (X-1) = [mm]X^{p}[/mm] - 1
>
> Ich hab aber zuerst aber zu dem eine Frage: Gilt [mm]\mu[/mm] =
> [mm]e^{\bruch{2 \pi i}{p}}[/mm] = [mm](e^{2 \pi i})^{\bruch{1}{p}}[/mm] =
> [mm]1^{\bruch{1}{p}}[/mm] = 1?
>
> Ich hab das einfach mal so angenommen und hier eingesetzt:
>
> [mm]\Phi_{p}(X)[/mm] (X-1) = [mm]\produkt_{j=1}^{p-1}[/mm] (X - [mm]1^{j})[/mm] (X-1)
> = [mm](X-1)^{p}[/mm]
>
> Es soll aber [mm]X^{p}[/mm] -1 rauskommen. Irgendwas hab ich falsch
> gemacht, aber ich weiß nicht genau was. Wo liegt mein
> Fehler?
>
> Dann soll man ja zeigen, dass [mm]\Phi_{p}(X)[/mm] =
> [mm]\summe_{r=0}^{p-1} X^{r}[/mm] ist, also dass
> [mm]\produkt_{j=1}^{p-1}[/mm] (X - [mm]\mu^{j})[/mm] = [mm]\summe_{r=0}^{p-1} X^{r}[/mm]
> = 1 + X + [mm]X^{2}[/mm] + ... + [mm]X^{p-1}[/mm]
>
> Wie kann ich denn das Produkt in die Summe umwandeln?
Das brauchst Du nicht: Es ist ja [mm] $(x-1)\left(\summe_{r=0}^{p-1} x^{r}\right)=x^{p} [/mm] -1$. Allgemein gilt in einem Integritätsring: Ist $a [mm] \ne [/mm] 0$ und $ab=ac$, dann ist $b=c$.
>
> Bei dem Beweis, dass [mm]\Phi_{p}(X) \in \IQ[X][/mm] irreduzibel,
> habe ich leider gar keine Ahnung, wie ich das zeigen soll.
> Als Tipp wurde uns gegeben, zuerst folgendes Lemma zu
> zeigen:
>
> P(X) = [mm]\summe_{i=0}^{m} a_{i} X^{i}[/mm] irreduzibles Polynom in
> K[X] [mm]\gdw[/mm] P(X+ c) = [mm]\summe_{i=0}^{m} a_{i} (X+c)^{i}[/mm]
> irreduzibles Polynom für ein c [mm]\in[/mm] K.
>
> Ich hoff, es kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich
> diese Äquivalenz zeigen kann, und wie das mit dem was ich
> eigentlich zeigen muss, zusammenhängt.
Für [mm] $j=1,\ldots, [/mm] p-1$ ist [mm] $\mu^{p-j}=\overline{\mu^j}$. [/mm] D.h. für $p>2$ ist [mm] $\phi_{p}(x)$ [/mm] Produkt von [mm] $(x-\mu^j)(x-\overline{\mu^j}$, [/mm] wobei j von 1 bis $(p-1)/2$ läuft. Dies sind aber über [mm] $\IR$ [/mm] irreduzible Polynome.
Tip zum Beweis des Lemmas: Ist $c [mm] \in [/mm] K$, dann teilt $c$ (als Polynom in $K[X]$ das Polynom [mm] $(X+c)^k -X^k$.
[/mm]
Gruß
zahlenspieler
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:54 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo zahlenspieler,
danke erstmal für deine Antwort.
Ich hoffe, du kannst mir auch beim ersten Teil weiter helfen. Ich weiß, dass da irgendwo der Wurm drin ist, aber wo?
> > Zuerst ist ja z.z.: [mm]\Phi_{p}(X)[/mm] (X-1) = [mm]X^{p}[/mm] - 1
> >
> > Ich hab aber zuerst aber zu dem eine Frage: Gilt [mm]\mu[/mm] =
> > [mm]e^{\bruch{2 \pi i}{p}}[/mm] = [mm](e^{2 \pi i})^{\bruch{1}{p}}[/mm] =
> > [mm]1^{\bruch{1}{p}}[/mm] = 1?
> >
> > Ich hab das einfach mal so angenommen und hier eingesetzt:
> >
> > [mm]\Phi_{p}(X)[/mm] (X-1) = [mm]\produkt_{j=1}^{p-1}[/mm] (X - [mm]1^{j})[/mm] (X-1)
> > = [mm](X-1)^{p}[/mm]
> >
> > Es soll aber [mm]X^{p}[/mm] -1 rauskommen. Irgendwas hab ich falsch
> > gemacht, aber ich weiß nicht genau was. Wo liegt mein
> > Fehler?
> >
> > Dann soll man ja zeigen, dass [mm]\Phi_{p}(X)[/mm] =
> > [mm]\summe_{r=0}^{p-1} X^{r}[/mm] ist, also dass
> > [mm]\produkt_{j=1}^{p-1}[/mm] (X - [mm]\mu^{j})[/mm] = [mm]\summe_{r=0}^{p-1} X^{r}[/mm]
> > = 1 + X + [mm]X^{2}[/mm] + ... + [mm]X^{p-1}[/mm]
> >
> > Wie kann ich denn das Produkt in die Summe umwandeln?
> Das brauchst Du nicht: Es ist ja
> [mm](x-1)\left(\summe_{r=0}^{p-1} x^{r}\right)=x^{p} -1[/mm].
> Allgemein gilt in einem Integritätsring: Ist [mm]a \ne 0[/mm] und
> [mm]ab=ac[/mm], dann ist [mm]b=c[/mm].
Ich versteh nicht genau, was du mir da geschrieben hast. Du hast einfach in [mm] (x-1)\left(\summe_{r=0}^{p-1} x^{r}\right)=x^{p} [/mm] -1 für [mm] \Phi_{p}(X) [/mm] das was man zeigen soll, eingesetzt. Aber dass die Gleichheit von [mm] \Phi_{p}(X) [/mm] = [mm] \summe_{r=0}^{p-1} X^{r} [/mm] ist, soll man ja zuerst zeigen. Und was ist in dem Fall das a, was sich rauskürzt?
> > Bei dem Beweis, dass [mm]\Phi_{p}(X) \in \IQ[X][/mm] irreduzibel,
> > habe ich leider gar keine Ahnung, wie ich das zeigen soll.
> > Als Tipp wurde uns gegeben, zuerst folgendes Lemma zu
> > zeigen:
> >
> > P(X) = [mm]\summe_{i=0}^{m} a_{i} X^{i}[/mm] irreduzibles Polynom in
> > K[X] [mm]\gdw[/mm] P(X+ c) = [mm]\summe_{i=0}^{m} a_{i} (X+c)^{i}[/mm]
> > irreduzibles Polynom für ein c [mm]\in[/mm] K.
> Für [mm]j=1,\ldots, p-1[/mm] ist [mm]\mu^{p-j}=\overline{\mu^j}[/mm].
Wieso gilt das?
D.h.
> für [mm]p>2[/mm] ist [mm]\phi_{p}(x)[/mm] Produkt von
> [mm](x-\mu^j)(x-\overline{\mu^j}[/mm], wobei j von 1 bis [mm](p-1)/2[/mm] läuft.
Das hab ich auch leider nicht ganz nachvollziehen können. Könntest du es mir bitte nochmal erklären, wie man da drauf kommt.
>Dies sind aber über [mm]\IR[/mm] irreduzible Polynome.
> Tip zum Beweis des Lemmas: Ist [mm]c \in K[/mm], dann teilt [mm]c[/mm]
> (als Polynom in [mm]K[X][/mm] das Polynom [mm](X+c)^k -X^k[/mm].
Danke nochmals,
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 10.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Moe,
Zu Deiner ersten Frage: Das Problem ist, dass Du der Ausdruck $ [mm] (e^{2 \pi i})^{\bruch{1}{p}} [/mm] $ nicht sinvoll ist, denn die $p$-te Wurzel aus einer komplexen Zahl ist keine wohldefinierte Funktion auf ganz [mm] $\IC-\{0\}$. [/mm] Genauer gesagt existieren zu jeder von Null verschiedenen komplexen Zahl genau $p$ verschiedene $p$-te Wurzeln. Wenn man eine Wurzel kennt, ergeben sich alle anderen durch Multplikation mit $p$-ten Einheitswurzeln, um die es ja in der Aufgabe geht.
Um $ [mm] \Phi_{p}(X) [/mm] (X-1) = [mm] X^{p} [/mm] - 1$ zu zeigen, kannst Du benutzen, dass beide Seiten normierte Polynome vom Grad $p$ sind, von denen Du $p$ verschiedene Wurzeln kennst.
Das Polynom [mm] $\Phi_p(X)=1+X+X^2+\ldots+X^{p-1}$ [/mm] hat nun offenbar rationale Koeffizienten.
Tipp: Ein Polynom $P(X)$ ist genau dann irreduzibel, wenn $P(X+1)$ irrduzibel ist.
Gruß, Volker
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Sorry,
ich habe deine Frage nicht zuende gelesen, der Tipp ist eben der "Standardtrick" in dieser Situation. Um ihn zu beweisen kann man so anfngen: Angenommen $f(X+1)$ wäre reduzibel, d.h. $f(X+1)=g(X)h(X)$ ... und so weiter....
Um den Trick anzuwenden probiere doch einfach mal mit [mm] $p=2,3,5,\ldots$ [/mm] herum und versuche Dich an Irreduzibilitätskriterien zu erinnern.
Gruß,
Volker.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Volker,
vielen Dank für deine Antwort. Mir ist aber leider nicht alles klar, was du mir geschrieben hast.
>
> Zu Deiner ersten Frage: Das Problem ist, dass Du der
> Ausdruck [mm](e^{2 \pi i})^{\bruch{1}{p}}[/mm] nicht sinvoll ist,
> denn die [mm]p[/mm]-te Wurzel aus einer komplexen Zahl ist keine
> wohldefinierte Funktion auf ganz [mm]\IC-\{0\}[/mm]. Genauer gesagt
> existieren zu jeder von Null verschiedenen komplexen Zahl
> genau [mm]p[/mm] verschiedene [mm]p[/mm]-te Wurzeln. Wenn man eine Wurzel
> kennt, ergeben sich alle anderen durch Multplikation mit
> [mm]p[/mm]-ten Einheitswurzeln, um die es ja in der Aufgabe geht.
>
> Um [mm]\Phi_{p}(X) (X-1) = X^{p} - 1[/mm] zu zeigen, kannst Du
> benutzen, dass beide Seiten normierte Polynome vom Grad [mm]p[/mm]
> sind, von denen Du [mm]p[/mm] verschiedene Wurzeln kennst.
Ich versteh nicht ganz, wie ich das mit den versch. Wurzeln machen soll. Was kann ich denn genau machen, wenn ich weiß, dass meine Seiten normierte Polynome sind vom Grad p? Ich hoffe, du kannst mir da etwas weiter helfen.
> Das Polynom [mm]\Phi_p(X)=1+X+X^2+\ldots+X^{p-1}[/mm] hat nun
> offenbar rationale Koeffizienten.
Woher weiß man das, dass dieses Polynom rationale Koeffizienten hat? Und ich weiß immer noch nicht, wie man zeigt, dass [mm] \Phi_{p}(X) [/mm] = 1 + X + [mm] X^{2} [/mm] + ... + [mm] X^{p-1}
[/mm]
> Tipp: Ein Polynom [mm]P(X)[/mm] ist genau dann irreduzibel, wenn
> [mm]P(X+1)[/mm] irrduzibel ist.
Nun zu diesem Trick:
Wenn ich p= 2 habe, dann ist [mm] \mu [/mm] = -1
Also ist [mm] \Phi_{2}(X) [/mm] = (X-1) irreduzibel, weil es ein Polynom vom Grad 1 ist.
Aber ich versteh nicht, wie ich das für p= 3, 5... machen soll, weil ich nicht genau weiß, wie ich z.B. [mm] e^{\bruch{2 \pi i}{3}} [/mm] berechnen soll.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Danke nochmal für deine Hilfe 
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Binie |
Hi Moe
Keine Zeit nur kurz so viel als Tipp:
[mm] e^{\bruch{2\pi*i}{p}} [/mm] = [mm] cos{\bruch{2\pi}{p}} [/mm] + [mm] i*sin{\bruch{2\pi}{p}} [/mm]
Bis dann Binie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Fr 05.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe,
> > Zu Deiner ersten Frage: Das Problem ist, dass Du der
> > Ausdruck [mm](e^{2 \pi i})^{\bruch{1}{p}}[/mm] nicht sinvoll ist,
> > denn die [mm]p[/mm]-te Wurzel aus einer komplexen Zahl ist keine
> > wohldefinierte Funktion auf ganz [mm]\IC-\{0\}[/mm]. Genauer gesagt
> > existieren zu jeder von Null verschiedenen komplexen Zahl
> > genau [mm]p[/mm] verschiedene [mm]p[/mm]-te Wurzeln. Wenn man eine Wurzel
> > kennt, ergeben sich alle anderen durch Multplikation mit
> > [mm]p[/mm]-ten Einheitswurzeln, um die es ja in der Aufgabe geht.
> >
> > Um [mm]\Phi_{p}(X) (X-1) = X^{p} - 1[/mm] zu zeigen, kannst Du
> > benutzen, dass beide Seiten normierte Polynome vom Grad [mm]p[/mm]
> > sind, von denen Du [mm]p[/mm] verschiedene Wurzeln kennst.
>
> Ich versteh nicht ganz, wie ich das mit den versch. Wurzeln
> machen soll. Was kann ich denn genau machen, wenn ich weiß,
> dass meine Seiten normierte Polynome sind vom Grad p? Ich
> hoffe, du kannst mir da etwas weiter helfen.
Wenn du zwei normierte Polynome $f, g$ von Grad $p$ hast mit $p$ verschiedene Nullstellen kennst, dann ist $f - g$ ein Polynom von Grad hoechstens $p - 1$ (weil beide normiert sind und sich somit das [mm] $X^p$ [/mm] weghebt) mit $p$ verschiedenen Nullstellen. Aber das einzige solche Polynom ist das Nullpolynom, womit $f - g = 0$ ist.
Damit hast du nun, dass [mm] $\Phi_p(X) [/mm] (X - 1) = [mm] X^p [/mm] - 1$ ist.
> > Das Polynom [mm]\Phi_p(X)=1+X+X^2+\ldots+X^{p-1}[/mm] hat nun
> > offenbar rationale Koeffizienten.
> Woher weiß man das, dass dieses Polynom rationale
> Koeffizienten hat? Und ich weiß immer noch nicht, wie man
> zeigt, dass [mm]\Phi_{p}(X)[/mm] = 1 + X + [mm]X^{2}[/mm] + ... + [mm]X^{p-1}[/mm]
Was bekommst du heraus, wenn du [mm] $X^p [/mm] - 1$ durch $X - 1$ teilst (Polynomdivision)? Oder anders (sprich: einfacher), was bekommst du heraus, wenn du $1 + X + [mm] \dots [/mm] + [mm] X^{p-1}$ [/mm] mit $X - 1$ multiplizierst?
> > Tipp: Ein Polynom [mm]P(X)[/mm] ist genau dann irreduzibel, wenn
> > [mm]P(X+1)[/mm] irrduzibel ist.
>
> Nun zu diesem Trick:
> Wenn ich p= 2 habe, dann ist [mm]\mu[/mm] = -1
> Also ist [mm]\Phi_{2}(X)[/mm] = (X-1) irreduzibel, weil es ein
> Polynom vom Grad 1 ist.
Ja, das ist allerdings ein hoechst uninteressanter Fall :)
> Aber ich versteh nicht, wie ich das für p= 3, 5... machen
> soll, weil ich nicht genau weiß, wie ich z.B. [mm]e^{\bruch{2 \pi i}{3}}[/mm]
> berechnen soll.
Damit brauchst du ueberhaupt nicht zu rechnen. Du musst nur wissen, dass [mm] $(X^{p-1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1) (X - 1) = [mm] X^p [/mm] - 1 = [mm] \Phi_p(X) [/mm] (X - 1)$ ist. Damit kannst du [mm] $\Phi_p(X [/mm] + 1)$ berechnen, bzw. erstmal [mm] $\Phi_p(X [/mm] + 1) ((X + 1) - 1) = [mm] (\Phi_p(T) [/mm] (T - [mm] 1))|_{T = X + 1}$ [/mm] und dann den Hilfsfaktor $((X + 1) - 1)$ auf beiden Seiten wegkuerzen...
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf,
vielen Dank für deine hilfreiche Antwort. Ich hab alles verstanden, bis auf das am Ende mit der Irreduzibilität.
> Damit brauchst du ueberhaupt nicht zu rechnen. Du musst nur
> wissen, dass [mm](X^{p-1} + \dots + 1) (X - 1) = X^p - 1 = \Phi_p(X) (X - 1)[/mm]
> ist. Damit kannst du [mm]\Phi_p(X + 1)[/mm] berechnen, bzw. erstmal
> [mm]\Phi_p(X + 1) ((X + 1) - 1) = (\Phi_p(T) (T - 1))|_{T = X + 1}[/mm]
> und dann den Hilfsfaktor [mm]((X + 1) - 1)[/mm] auf beiden Seiten
> wegkuerzen...
Also ich habe folgendes gemacht:
[mm] \Phi_p(X [/mm] + 1) ((X+1)-1) = [mm] ((X+1)^{p-1} [/mm] + ... + 1) ((X+1)-1)
Dann hab ich ((X+1)-1) weggekürzt und erhalte [mm] \Phi_p(X [/mm] + 1) = [mm] (X+1)^{p-1} [/mm] + ... + 1 =
[mm] \summe_{r=0}^{p-1} [/mm] (X+1)
Jetzt soll man doch zeigen, dass [mm] \Phi_p(X [/mm] + 1) irreduzibel ist oder? Aber das ist irreduzibel, weil (X+1) ein Polynom 1.Grades ist. Stimmt das so?
Aber man soll das ja für allgemeine c [mm] \in [/mm] K zeigen.Und wie kann ich daraus folgern, dass [mm] \Phi_p(X) [/mm] irreduzibel [mm] \in \IQ[X] [/mm] ist?
Das ist mir noch nicht so klar.
Ich hoffe, du erklärst es mir.
Danke nochmal für die Hilfe!
Lg, Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 So 07.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe!
> vielen Dank für deine hilfreiche Antwort. Ich hab alles
> verstanden, bis auf das am Ende mit der Irreduzibilität.
> > Damit brauchst du ueberhaupt nicht zu rechnen. Du musst
> nur
> > wissen, dass [mm](X^{p-1} + \dots + 1) (X - 1) = X^p - 1 = \Phi_p(X) (X - 1)[/mm]
> > ist. Damit kannst du [mm]\Phi_p(X + 1)[/mm] berechnen, bzw. erstmal
> > [mm]\Phi_p(X + 1) ((X + 1) - 1) = (\Phi_p(T) (T - 1))|_{T = X + 1}[/mm]
> > und dann den Hilfsfaktor [mm]((X + 1) - 1)[/mm] auf beiden Seiten
> > wegkuerzen...
>
> Also ich habe folgendes gemacht:
>
> [mm]\Phi_p(X[/mm] + 1) ((X+1)-1) = [mm]((X+1)^{p-1}[/mm] + ... + 1)
> ((X+1)-1)
> Dann hab ich ((X+1)-1) weggekürzt und erhalte [mm]\Phi_p(X[/mm] +
> 1) = [mm](X+1)^{p-1}[/mm] + ... + 1 =
> [mm]\summe_{r=0}^{p-1}[/mm] (X+1)
Vorsicht, das ist [mm] $\sum_{r=0}^{p-1} [/mm] (X + [mm] 1)^r$, [/mm] und das hat nicht Grad 1...
> Jetzt soll man doch zeigen, dass [mm]\Phi_p(X[/mm] + 1) irreduzibel
> ist oder? Aber das ist irreduzibel, weil (X+1) ein Polynom
> 1.Grades ist. Stimmt das so?
Nein.
> Aber man soll das ja für allgemeine c [mm]\in[/mm] K zeigen.
Was ist $c$?
Du solltest [mm] $\Phi_p(X [/mm] + 1) ((X + 1) - 1)$ wie folgt auswerten: [mm] $\Phi_p(X [/mm] + 1) ((X + 1) - 1) = [mm] (\Phi_p(T) [/mm] (T - [mm] 1))|_{T = X + 1} [/mm] = [mm] (T^p [/mm] - [mm] 1)|_{T = X + 1} [/mm] = (X + [mm] 1)^p [/mm] - 1$. Das kannst du jetzt mit der Binomischen Formel ausrechnen. Wenn du jetzt auf beiden Seiten $(X + 1) - 1 = X$ weggkuerzt, reicht es aus zu zeigen, dass [mm] $\frac{(X + 1)^p - 1}{X}$ [/mm] irreduzibel ist (da kommt ein Polynom raus!). Und das kannst du mit dem Kritierium von Eisenstein erledigen, also zumindest in [mm] $\IZ[X]$, [/mm] aber damit ist es auch schon in [mm] $\IQ[X]$ [/mm] irreduzibel da es kein konstantes Polynom ist.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 07.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo felixf,
danke für deine Antwort. Ich hab eine Lösung erarbeitet, bin mir aber nicht ganz sicher.
> Du solltest [mm]\Phi_p(X + 1) ((X + 1) - 1)[/mm] wie folgt
> auswerten: [mm]\Phi_p(X + 1) ((X + 1) - 1) = (\Phi_p(T) (T - 1))|_{T = X + 1} = (T^p - 1)|_{T = X + 1} = (X + 1)^p - 1[/mm].
> Das kannst du jetzt mit der Binomischen Formel ausrechnen.
> Wenn du jetzt auf beiden Seiten [mm](X + 1) - 1 = X[/mm] weggkuerzt,
> reicht es aus zu zeigen, dass [mm]\frac{(X + 1)^p - 1}{X}[/mm]
> irreduzibel ist (da kommt ein Polynom raus!). Und das
> kannst du mit dem Kritierium von Eisenstein erledigen, also
> zumindest in [mm]\IZ[X][/mm], aber damit ist es auch schon in [mm]\IQ[X][/mm]
> irreduzibel da es kein konstantes Polynom ist.
Ich hab die bin. Formel angewandt:
[mm] (X+1)^{p} [/mm] - 1 = [mm] \summe_{k= 0}^{p} \vektor{p \\ k} 1^{p-k} X^{k} [/mm] - 1 = [mm] \summe_{k= 0}^{p} \vektor{p \\ k} X^{k} [/mm] - 1 = [mm] \summe_{k= 1}^{p} \vektor{p \\ k} X^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k= 1}^{p} \vektor{p \\ k} X^{k-1} [/mm] * X
Wenn ich nun auf beiden Seiten (X+1)-1 wegkürze, dann erhalte ich
[mm] \Phi_{p} [/mm] (X+1) = [mm] \summe_{k= 1}^{p} \vektor{p \\ k} X^{k-1} [/mm] = p + [mm] \vektor{p \\ 2} [/mm] X + ...+ [mm] X^{p-1}
[/mm]
Also hab ich auf dieses Polynom das Eisenstein-Kriterium angewandt.
Ich habe für [mm] \pi [/mm] = p gewählt. Da p eine Primzahl [mm] \in \IZ [/mm] ist, ist es auch irreduzibel.
Die Kriterien stimmen auch:
[mm] \pi [/mm] teilt nicht [mm] a_{p-1} [/mm] =1
[mm] \pi [/mm] = p teilt [mm] a_{i}, \forall [/mm] i [mm] \le [/mm] p-2, da die mittleren Glieder alle Binomialkoeffizienten haben, die alle durch p teilbar sind.
[mm] \pi^{2} [/mm] = [mm] p^{2} [/mm] teilt nicht [mm] a_{0} [/mm] = p in [mm] \IZ
[/mm]
Also ist [mm] \Phi_{p}(X+1) [/mm] irreduzibel in [mm] \IZ[X], [/mm] also auch in [mm] \IQ[X].
[/mm]
Stimmt das so weit?
Du hast mir geschrieben, es reicht z.z., dass [mm] \frac{(X + 1)^p - 1}{X} [/mm] irreduzibel ist. Ich hab nicht verstanden, wie das gehen soll. Ich hab das so wie oben gelöst. Stimmt das auch so?
Aber wie kann ich nun zeigen, dass [mm] \Phi_{p}(X) [/mm] irreduzibel in [mm] \IQ[X] [/mm] ist?
Weil das ist ja das, was ich zeigen soll.
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Viele Grüße und danke,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mo 08.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
Du bist ja prima weitergekommen übers Wochendende. Jetzt mußt Du nur noch das so genannte Gauß-Lemma anwenden, um zu sehen das [mm] $\Phi_p(X)$ [/mm] auch in [mm] $\IQ[X]$ [/mm] irreduzibel ist.
Gruß, Volker.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mo 08.01.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Volker,
ich versteh nicht ganz, wie ich das mit dem Gaußschen Lemma beweisen soll.
Ich kenn das Gaußsche Lemma so:
Sei R ein faktorieller Ring. Seien P,Q primitive Polynome [mm] \in [/mm] R[X]. Dann ist PQ wieder primitiv.
Wie kann ich mit diesem Lemma zeigen, dass wenn [mm] \Phi_{p}(X+1) [/mm] irreduzibel ist, dass dann auch [mm] \Phi_{p}(X) [/mm] irreduzibel ist? Ich seh da irgendwie keinen Zusammenhang.
Ich hoffe, du erklärst es mir.
Danke.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Di 09.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Moe,
die Aussage, die ich meine ist vieleicht eher ein Korollar aus dem Lemma das du zitierst. Wahrscheinlich steht sie auf der nächsten Seite oder so. Anzuwenden ist das alles natürlich mit [mm] R=\IZ [/mm] und Quotientenkörper [mm] \IQ. [/mm]
Gruß, Volker
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