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Hi Leute!
Nun, ich muss bereits morgen (deshalb ist es leider ziemlich dringend) ein kurzes "Referat" halten, warum, wenn man eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion hat (es ist also gegeben, dass es sich um eine ganzrationale Funktion handelt), es nie einen Rest bei einer Polynomdivision gibt (also dass der Rest gleich Null ist).
Ich habe schon hier gesucht und auch in Google, aber leider nichts für mich Sinnvolles gefunden und wenn ich was gefunden habe, es leider nicht ganz verstanden :(.
Ich bitte euch wirklich, mir hier zu helfen, da es wie schon gesagt sehr dringend ist! Ich bin neu hier und hoffe alle Regeln beachtet zu haben, wenn nicht entschuldigt das bitte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:40 So 10.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo sheepsheep!
Vermutlich meintest du folgendes:
Seit $p(x)$ eine ganzrationale Funktion und $a$ eine Nullstelle von $p(x)$. Dann ist $(x-a)$ ein Teiler von $p(x)$, sprich:
Führt man die Polynomdivision
$p(x) = q(x) [mm] \cdot [/mm] (x-a) + r(x)$ mit $Grad(r(x)) < Grad(x-a)=1$
durch, so folgt: $r(x) [mm] \equiv [/mm] 0$.
Nun ja, das ist einfach:
Wäre $r(x) [mm] \not\equiv [/mm] 0$, so müsste $r(x)$ eine konstante Funktion $r(x) [mm] \equiv [/mm] c [mm] \ne [/mm] 0$ sein. (Denn wenn ich durch eine ganzartionale Funktion ersten Grades teile (wie $x-a$), dann "kann nur eine Konstante als Rest rauskommen")
Dann wäre aber:
$c = p(a) - q(a) [mm] \cdot [/mm] (a-a) = 0 - q(a) [mm] \cdot [/mm] 0 = 0$,
Widerspruch.
Viele Grüße
Stefan
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Erstmal vielen Dank Stefan für diese wirklich verdammt schnelle Antwort!
Genau diesen Beweis habe ich gesucht.
Aber ich verstehe (sorry :( ) den letztem Schritt nicht, wo du für x die Nullstelle a eingesetzt hast...also ich meine, warum "darf" man das? Ich weiß, es ist sicher eine verdammt dumme und lächerliche Frage...
Ich meine, bei einer Polynomdivision wird ja auch nicht irgendwie für x die Nullstelle eingesetzt (ja, würde auch keinen Sinn machen). Ich verstehe als nicht, warum dieser Schritt zeigt, dass bei einer Polynomdivision einer ganzrationalen Funktion mit gegebener Nullstelle nie ein Rest herauskommt. Sorry :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 So 10.04.2005 | | Autor: | mat84 |
Hi!
> Aber ich verstehe (sorry :( ) den letztem Schritt nicht,
> wo du für x die Nullstelle a eingesetzt hast...also ich
> meine, warum "darf" man das? Ich weiß, es ist sicher eine
> verdammt dumme und lächerliche Frage...
Also dumm und lächerlich ist sowas sicher nicht  Egal wie einfach
oder schwer die Antwort im Endeffekt ist.
Wir haben ja eine Polynomfunktion [mm] p(x) [/mm], da ist der Dfinitionsbereich [mm] D = \IR [/mm], logischerweise dürfen wir da
auch unsere Nullstelle [mm] a [/mm] einsetzen (wär ja auch unsinnig, wenn nicht )
Wir haben ja jetzt angenommen, dass ein Rest [mm] c [/mm] rauskommt (und das wollen wir dann durch Umformungen widerlegen), also sei
[mm] p(x) : (x-a) = q(x) + \bruch{c}{x-a} [/mm]
Mit [mm] (x-a) [/mm] multipliziert erhalten wir die Gleichung, die Stefan ja bereits aufgestellt hatte:
[mm] p(x) = q(x)*(x-a) + c [/mm]
Nach c aufgelöst also
[mm] c = p(x) - q(x)*(x-a) [/mm]
Jetzt setzen wir zur Überprüfung der Aussage einfach mal die Nullstelle ein
(dürfen wir halt, da laut Definitionsbereich jedes beliebige [mm] x \in \IR [/mm] erlaubt ist)
[mm] c = p(a) - q(a)*(a-a) [/mm]
[mm] p(a) [/mm] ist 0, da [mm] a [/mm] Nullstelle von [mm] p(x) [/mm] ist.
was [mm] q(a) [/mm] ist wissen wir nicht, ist aber egal, denn [mm] (a-a) = 0 [/mm] und damit auch das gesamte produkt [mm] q(a)*(a-a) [/mm]
Es gilt also [mm] c = 0 - 0 = 0 [/mm]
Wir haben also doch keinen Rest!
Hoffe, das hilft weiter 
Gruß
mat84
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 So 10.04.2005 | | Autor: | sheepsheep |
Verdammt, das Forum ist echt toll :)
So schnell 'ne Antwort!
Habt mir echt weitergeholfen, vielen Dank !
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