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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mo 22.12.2008 | | Autor: | kawu |
| Aufgabe | Beispiel 1: Sei [mm] $\mathds{F} [/mm] = [mm] \mathds{Z}_5$. [/mm] In [mm] $\mathds{F}$ [/mm] schreiben wir [mm] $\bruch{a}{b}$ [/mm] für $a *_5 [mm] b^{-1}$, [/mm] $b [mm] \neq [/mm] 0$, zum Beispiel gilt in [mm] $\mathds{F}$
[/mm]
[mm] $\bruch{2}{3} [/mm] = 4 = -1$
denn [mm] $\varrho_5(3 [/mm] * 4) = 2$ und $4 + _5 1 = 0$. Seien
$A = [mm] 2X^4 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X + 1, N = [mm] 3X^2 [/mm] + 4X [mm] \in [/mm] F[X]$.
Die Division A : N besteht aus drei Schritten.
1.) Wir bilden:
[mm] $R_1 [/mm] = A - [mm] \bruch{2}{3}X^2 [/mm] * N = A - [mm] 4X^2 [/mm] * N = [mm] 2X^4 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X + 1 - [mm] 2X^4 [/mm] - [mm] X^3 [/mm] = [mm] 4X^3 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X + 1$
Also ist $A = [mm] 4X^3 [/mm] + [mm] X^2 [/mm] * N + [mm] R_1$ [/mm] und grad [mm] R_1 [/mm] < grad A
[...]
(Endliche Körper von Hanz Kurzweil, Seite 25) |
Das oben angeführte Beispiel stammt aus einem Buch, das das Rechnen mit Polynomen beschreibt um die Vorwärtsfehlerkorrektur mit Reed-Solomon-Codes zu erklären.
Schon der Beginn des Beispiels wirft bei mir die Frage auf, was dort überhaupt gemacht wurde:
wieso ist [mm] $\bruch{2}{3} [/mm] = 4 = -1$ und wieso wurden diese zwei drittel als Koeffizient in Schritt 1 der Division A : N mitgenommen?
lg, KaWu
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Na, die Schreibweise gilt sonst als nicht ganz sauber, aber man kann sie sich ja so definieren. In der vorliegenden Restklassenbetrachtung [mm] \mod{5} [/mm] (und nur dort!) ist die Gleichungskette richtig:
[mm] \bruch{2}{3}=4=-1
[/mm]
Üblicherweise vermeidet man Brüche und setzt statt des Gleichheitszeichen die Äquivalenz [mm] \equiv.
[/mm]
Gemeint ist (linkes Gleichheitszeichen):
[mm] 2\equiv4*3\mod{5} \gdw \bruch{2}{3}\equiv4\mod{5}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mo 22.12.2008 | | Autor: | kawu |
Und wieso ist die 4 = -1? Und wieso wurde [mm] $\bruch{2}{3}$ [/mm] im Schritt 1 der Division der beiden Polynome verwendet? Das ist mir leider noch nicht so ganz klar.
lg, KaWu
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> Und wieso ist die 4 = -1?
Hallo,
Du rechnest ja gerade modulo 5.
Nun muß man sich erstmal klarmachen, was mit -1 gemeint ist: es ist das inverse Element von 1 bzgl der Addition, als das Element, für welches 1+ ? =Null ist.
Es ist 1+4=5, und wenn man mod 5 rechnet, ist 5=0.
Also ist 4= -1.
Und wieso wurde [mm]\bruch{2}{3}[/mm] im
> Schritt 1 der Division der beiden Polynome verwendet? Das
> ist mir leider noch nicht so ganz klar.
ich hoffe, daß ich auf die richtige Frage antworte.
berechnet werden soll
[mm] (\blue{2X^4} [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X + 1) : [mm] (\green{3X^2}+ [/mm] 4X) = ???
ich tue jetzt erstmal so, als wäre ich in den reellen Zahlen.
Als erstes überlege ich mir, womit ich [mm] \green{3X^2} [/mm] multiplizieren muß, um [mm] \blue{2X^4} [/mm] zu erhalten. Ergebnis des Nachdenkens: mit [mm] \bruch{2}{3}X^2.
[/mm]
Also
[mm] (\blue{2X^4} [/mm] + [mm] X^2 [/mm] + X + 1) : [mm] (\green{3X^2}+ [/mm] 4X) = [mm] \bruch{2}{3}X^2 [/mm] + ???
[mm] -(2X^4+\bruch{8}{3}X^3)
[/mm]
----------
...
usw.
Gruß v. Angela
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